Аксиомы Пеано и натуральные числа: порядок, индукция, наименьший элемент и арифметические операции

В принятой в курсе формулировке \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\) задаётся четырьмя аксиомами. У каждого \(n\) есть единственный следующий элемент \(n+1\). Существует начальный элемент 1, который не является следующим ни для какого натурального числа. Каждый элемент, отличный от 1, является следующим ровно для одного натурального числа. Наконец, действует аксиома индукции.1

На этой основе рекурсивно вводятся сложение и умножение и задаётся естественный линейный порядок. Аксиома индукции равносильна принципу существования минимального элемента в каждом непустом подмножестве \(\mathbb N\).1

Что важно запомнить
  • Здесь \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\).
  • У каждого \(n\in\mathbb N\) есть единственный следующий элемент \(n+1\).
  • Число 1 не является следующим ни для какого натурального числа.
  • Каждый элемент, отличный от 1, является следующим ровно для одного элемента \(\mathbb N\).
  • Аксиома индукции описывает минимальность натурального ряда относительно перехода \(n\mapsto n+1\).
  • Сложение и умножение вводятся рекурсивно.
  • Аксиома индукции равносильна принципу наименьшего элемента.

Аксиомы Пеано

В принятой в курсе формулировке множество \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\) задаётся четырьмя аксиомами. Для каждого \(n\in\mathbb N\) существует единственный следующий элемент \(n+1\). Существует единственная единица 1, которая не является следующим элементом ни для какого натурального числа. Каждый элемент, отличный от 1, является следующим ровно для одного элемента \(\mathbb N\). Наконец, если \(M\subseteq\mathbb N\) содержит 1 и вместе с каждым \(n\in M\) содержит \(n+1\), то \(M=\mathbb N\). Последнее утверждение является аксиомой индукции.1

Арифметические операции и порядок

Аксиома индукции позволяет задавать операции рекурсивно. Переход к \(n+1\) уже задан как операция следования. Сложение продолжают правилом

\[n+(m+1)=(n+m)+1.\]

Умножение можно задать условиями

\[n\cdot1=n,\qquad n\cdot(m+1)=n\cdot m+n.\]

После доказательства существования и единственности соответствующих операций получают привычные свойства сложения и умножения.1

Линейный порядок на \(\mathbb N\) задаётся условием \(n\le m\) тогда и только тогда, когда \(n=m\) либо \(m=n+k\) для некоторого \(k\in\mathbb N\). Его свойства выводятся из свойств сложения и аксиомы индукции.1

Индукция и принцип наименьшего элемента

Из индукции следует принцип наименьшего элемента. Пусть непустое \(A\subseteq\mathbb N\) не имеет минимального элемента. Обозначим через \(M\) множество всех \(n\), для которых ни одно \(k\le n\) не принадлежит \(A\). Тогда \(1\in M\), иначе 1 был бы минимальным элементом \(A\). Если \(n\in M\) и \(n+1\in A\), то \(n+1\) был бы минимальным элементом \(A\). Значит, \(n+1\notin A\) и \(n+1\in M\). По аксиоме индукции \(M=\mathbb N\), откуда \(A\) пусто. Получено противоречие.1

Из принципа наименьшего элемента следует индукция. Пусть \(M\subseteq\mathbb N\) содержит 1 и вместе с \(n\) содержит \(n+1\). Если \(M\ne\mathbb N\), множество \(\mathbb N\setminus M\) непусто и имеет минимальный элемент \(m\). Он не равен 1. Поэтому существует \(p\in\mathbb N\) с \(p+1=m\). Из минимальности \(m\) следует \(p\in M\), а замкнутость \(M\) даёт \(m\in M\). Получено противоречие. Следовательно, \(M=\mathbb N\).1

Частые ошибки
  • Смешивать соглашения \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\) и \(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\).
  • Формулировать аксиому индукции без условия, что множество содержит 1.
  • Считать принцип наименьшего элемента дополнительной независимой аксиомой.
  • Использовать привычные арифметические операции как уже заданные, когда вопрос требует объяснить их аксиоматическое построение.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 5–8.