Эквивалентные преобразования контактных схем: основные, вспомогательные и обобщённые тождества

Эквивалентные преобразования контактных схем строятся на графических тождествах: пары локальных подсхем имеют одинаковую матрицу проводимости и могут взаимно заменяться внутри большей КС. В курсе пять фиксированных тождеств \(t_1\)–\(t_5\) и бесконечное семейство \(t_6^{(m)}\) называются основными.1

Из основных выводятся вспомогательные тождества t₇–t₁₁, в том числе «замыкание по транзитивности» t₁₀ и «лемма о звезде» t₁₁. Для порядка n вводятся обобщённые тождества, выводимые из конечной системы \(\tau_n=\{t_1,\ldots,t_5,t_6^{(1)},\ldots,t_6^{(n)}\}\).1

Что важно запомнить
  • Основные тождества КС: \(t_1\)–\(t_5\) и семейство \(t_6^{(m)}\), m≥1.1
  • Подстановка допускает переименование, отождествление и инвертирование управляющих переменных, а также операции с полюсами.
  • Эквивалентную подсхему можно заменить по принципу эквивалентной замены.
  • t₇–t₁₁ — вспомогательные тождества. t₁₀ связано с транзитивностью, t₁₁ — со «звездой».
  • При n≥2 обобщённые тождества порядка n выводятся из \(\tau_n\).1

Тождество и подстановка для КС

Две КС с одинаковым набором полюсов эквивалентны, если для каждой пары полюсов совпадают функции проводимости. Пара таких схем задаёт тождество. Подстановка может переименовывать, отождествлять и инвертировать управляющие БП, а также переименовывать, отождествлять или снимать полюса. После одинаковой подстановки к обеим частям эквивалентность сохраняется.1

Подсхема определяется с учётом всех точек связи с внешней частью КС. Поэтому работает принцип эквивалентной замены: локальную подсхему можно заменить эквивалентной с теми же полюсами.

Основные тождества

В лекциях основные тождества задаются графически. К ним относятся пять фиксированных локальных тождеств \(t_1\)–\(t_5\) и семейство \(t_6^{(m)}\), m=1,2,… . Семейство \(t_6^{(m)}\) связано со свёртыванием специального цикла из m контактов к полюсу.1

Вспомогательные тождества

Тождества t₇–t₁₁ вводятся как удобные производные правила. Лемма 7.1 показывает, что они выводятся уже из \({t_{1},\ldots,t_{5},t_{6}^{1},t_{6}^{2}}\). Поэтому вспомогательное тождество не добавляет новую независимую аксиому. В частности, t₁₀ называют замыканием по транзитивности, а t₁₁ — леммой о звезде.1

Обобщённые тождества

Для порядка n используется \(\tau_n=\{t_1,\ldots,t_5,t_6^{(1)},\ldots,t_6^{(n)}\}\). Лемма 7.2 показывает, что при n≥2 обобщённые тождества порядка n выводятся из \(\tau_n\). Это позволяет заменять длинные регулярные цепочки локальных преобразований одним уже доказанным правилом.1

Пример простыми словами

Полезно мыслить тождества КС как разрешённые локальные «перепайки». Основные t₁–t₆ — элементарные правила, вспомогательные t₇–t₁₁ — доказанные комбинации этих правил, а обобщённые тождества компактно описывают регулярные серии преобразований.

Частые ошибки
  • Заменять графические тождества КС только формульными законами ∧ и ∨. Общая КС имеет более богатую сетевую структуру.
  • Считать вспомогательные тождества независимыми аксиомами. В курсе они выводятся из основных.
  • Путать \(\tau_n\) с \(\tau_\infty\). В \(\tau_n\) входят только \(t_6^{(m)}\) при m≤n.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики Вариант 2017 г. (гр. 311–319), глава 2, §7, леммы 7.1–7.2, МГУ, факультет ВМК