Отображения и функции: область определения и значений, график, композиция, обратное отображение и основные классы отображений

Функция \(f:X\to Y\) каждому \(x\in X\) сопоставляет ровно один элемент \(f(x)\in Y\). \(X\) называется областью определения. Множество всех фактически принимаемых значений называют образом функции и обозначают \(f(X)\). График функции состоит из пар \((x,f(x))\).¹

Композиция выполняется последовательно: сначала применяется \(f\), затем \(g\), поэтому \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Инъекция не отождествляет разные аргументы, сюръекция достигает каждого элемента целевого множества, а биекция обладает обоими свойствами. Для биекции существует обратная функция.¹

Что важно запомнить

Каждому \(x\) из области определения соответствует ровно одно значение \(f(x)\).
Целевое множество и фактический образ функции могут не совпадать.
График функции является подмножеством \(X\times Y\).
Композиция ассоциативна, но в общем случае не коммутативна.
Инъекция сохраняет различимость аргументов, сюръекция покрывает всё целевое множество, биекция сочетает оба свойства.
Обратная функция \(f^{-1}:Y\to X\) определена для биекции \(f:X\to Y\).

Функцией \(f:X\to Y\) называется правило, которое каждому \(x\in X\) сопоставляет ровно один элемент \(y\in Y\). Элемент \(y\) обозначают \(f(x)\). Множество \(X\) является областью определения. Совокупность всех значений \(f(x)\), когда \(x\) пробегает \(X\), образует область значений функции. Это множество называют также образом функции и обозначают \(f(X)\). Иногда используют обозначение \(\operatorname{Im}f\). Оно является подмножеством \(Y\).¹

График и композиция

График функции — множество

\[\Gamma_f=\{(x,y)\mid y=f(x),\ x\in X\}.\]

Поэтому \(\Gamma_f\subseteq X\times Y\). Обратно, подмножество \(X\times Y\) задаёт график функции, если каждому \(x\in X\) соответствует ровно одна пара с первой компонентой \(x\).¹

Если \(f:X\to Y\) и \(g:Y\to Z\), то композиция \(g\circ f:X\to Z\) задаётся формулой \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Сначала применяется \(f\), затем \(g\). Композиция ассоциативна, но в общем случае не коммутативна.¹

Инъекция, сюръекция и биекция

Функция \(f:X\to Y\) называется инъекцией, если из \(f(x)=f(z)\) следует \(x=z\). Она называется сюръекцией, если для каждого \(y\in Y\) существует хотя бы один \(x\in X\) такой, что \(f(x)=y\). Биекция одновременно является инъекцией и сюръекцией.¹

Обратная функция

Если \(f:X\to Y\) — биекция, то каждому \(y\in Y\) соответствует ровно один \(x\in X\) с \(f(x)=y\). Это позволяет определить обратную функцию \(f^{-1}:Y\to X\). Существование обеспечивается сюръективностью \(f\), а единственность соответствующего \(x\) — её инъективностью. Обратная функция \(f^{-1}\) сама является биекцией.¹

Пример простыми словами

Пусть \(X=\{1,2\}\), \(Y=\{a,b,c\}\) и \(f(1)=a\), \(f(2)=b\). Такая функция инъективна, но не сюръективна на \(Y\), потому что значение \(c\) не достигается. Если целевым множеством взять \(\{a,b\}\), та же зависимость становится биекцией.

Частые ошибки

Путать целевое множество \(Y\) с множеством фактически принимаемых значений.
Менять порядок функций в композиции.
Считать одной инъективности достаточной для существования обратной функции на всём \(Y\).
При определении сюръекции проверять только часть элементов целевого множества.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 2–3.