Множества: основные понятия, операции и декартово произведение

Множество — это совокупность объектов, называемых его элементами. Запись \(x\in A\) читается «x принадлежит A». Запись \(A\subseteq B\) означает, что \(A\) является подмножеством \(B\). Равенство множеств устанавливается двумя взаимными включениями.1

Основные операции — пересечение, объединение и разность. Разность \(A\setminus B\) состоит из элементов \(A\), которые не принадлежат \(B\). Если все множества рассматриваются внутри фиксированного \(U\), то \(U\setminus A\) является дополнением \(A\). Запись \(A\times B\) обозначает декартово произведение, состоящее из упорядоченных пар \((a,b)\), где \(a\in A\), \(b\in B\).1

Что важно запомнить
  • \(x\in A\) — отношение принадлежности элемента множеству.
  • \(A\subseteq B\) означает включение. Равенство \(A=B\) равносильно двум взаимным включениям.
  • \(A\cap B\) содержит общие элементы, \(A\cup B\) — элементы хотя бы одного множества, \(A\setminus B\) — элементы \(A\), не принадлежащие \(B\).
  • Дополнение определяется относительно заранее фиксированного универсального множества.
  • Элементы \(A\times B\) — упорядоченные пары, поэтому порядок компонент существенен.

Основные понятия

Множество — совокупность, набор или собрание объектов, которые называют его элементами. Запись \(x\in A\) читается «x принадлежит A». Множество можно задать перечислением элементов либо характеристическим свойством. Пустое множество \(\varnothing\) не содержит ни одного элемента.1

Множество \(A\) является подмножеством \(B\), если из \(x\in A\) следует \(x\in B\). Запись \(A\subseteq B\) читается «A является подмножеством B». Два множества равны тогда и только тогда, когда \(A\subseteq B\) и \(B\subseteq A\).1

Операции над множествами

Пересечение определяется формулой

\[A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ и }x\in B\}.\]

Объединение и разность определяются соответственно:

\[A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ или }x\in B\},\]

\[A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ и }x\notin B\}.\]

Разность \(A\setminus B\) содержит элементы \(A\), которых нет в \(B\). Если все рассматриваемые множества лежат в фиксированном \(U\), то \(U\setminus A\) является дополнением \(A\) относительно \(U\).1

Пересечение и объединение коммутативны и ассоциативны. Дистрибутивные законы имеют вид

\[A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),\]

\[A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).\]

Формулы де Моргана относительно \(U\):

\[U\setminus(A\cap B)=(U\setminus A)\cup(U\setminus B),\]

\[U\setminus(A\cup B)=(U\setminus A)\cap(U\setminus B).\]1

Декартово произведение

Пара \((a,b)\) является упорядоченной: первая и вторая компоненты играют разные роли. Декартово произведение \(X\times Y\) состоит из всех пар \((x,y)\), для которых \(x\in X\) и \(y\in Y\). Поэтому \(X\times Y\) и \(Y\times X\) в общем случае различны. Декартовы произведения естественно используются при задании графиков функций и бинарных отношений.1

Пример простыми словами

Пусть \(A=\{1,2\}\), \(B=\{2,3\}\). Тогда \(A\cap B=\{2\}\), \(A\cup B=\{1,2,3\}\), \(A\setminus B=\{1\}\). Декартово произведение \(A\times B\) содержит пары \((1,2)\), \((1,3)\), \((2,2)\), \((2,3)\). При перестановке множителей получаем \(B\times A=\{(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}\), поэтому \(A\times B\ne B\times A\).

Частые ошибки
  • Путать \(x\in A\) с включением одного множества в другое.
  • Считать \(A\setminus B\) и \(B\setminus A\) одной и той же операцией.
  • Говорить о дополнении, не указав универсальное множество.
  • Игнорировать порядок компонент в декартовом произведении.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 1–4.