Формула Гаусса—Остроградского связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с интегралом дивергенции по заключённому объёму. Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{3}\) является ограниченной допустимой областью с кусочно-гладкой границей \(\partial G\), \(n\) является внешней единичной нормалью, а \(F=(P,Q,R)\) принадлежит \(C^{1}\) в окрестности замыкания \(G\). Тогда
\[\iint_{\partial G}F\cdot n\,dS=\iiint_G\operatorname{div}F\,dV\], где
Что важно запомнить
- Граница области должна быть замкнутой поверхностью.
- Нормаль в стандартной формуле направлена наружу.
- Левая часть является потоком поля через границу.
- Правая часть содержит \(\operatorname{div} F\).
- Дивергенция равна \(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\).
- Формула переводит поверхностный интеграл в тройной интеграл.
Формула Гаусса—Остроградского
Пусть \(G\) является ограниченной допустимой областью в \(\mathbb{R}^{3}\), её граница \(\Phi =\partial G\) кусочно-гладкая и ориентирована внешней нормалью \(n\). Пусть \(F=(P,Q,R)\) принадлежит \(C^{1}\) в области, содержащей замыкание \(G\). Тогда
Дивергенция поля определяется формулой
\[\operatorname{div} F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\].
В координатной форме левая часть является поверхностным интегралом второго рода
\[\iint _{\Phi }(P dy dz+Q dz dx+R dx dy)\],
где ориентация соответствует внешней нормали.
Смысл формулы
Дивергенция измеряет локальную интенсивность источника или стока поля. Тройной интеграл суммирует эту величину по всему объёму. Поверхностный интеграл измеряет результирующий поток через границу. Формула утверждает, что эти две величины совпадают.
Отличие от формулы Стокса
Формула Стокса связывает циркуляцию по краю ориентированной поверхности с потоком ротора через неё. Формула Гаусса—Остроградского работает с замкнутой поверхностью и дивергенцией поля.
Пример простыми словами
Для \(F=(x,y,z)\) в шаре радиуса \(R\) имеем \(\operatorname{div} F=3\). Поэтому \(\iiint _{G} \operatorname{div} F dV=3\cdot \frac{4\pi R^{3}}{3}=4\pi R^{3}\). На сфере \(F\cdot n=R\), а площадь сферы равна \(4\pi R^{2}\). Поверхностный поток также равен \(4\pi R^{3}\).
Частые ошибки
- Выбирать внутреннюю нормаль вместо внешней и не менять знак.
- Использовать \(\operatorname{rot} F\) вместо \(\operatorname{div} F\).
- Применять формулу к незамкнутой поверхности.
- Забывать, что поле должно иметь необходимые непрерывные первые производные.
