Формула Стокса связывает циркуляцию векторного поля по границе ориентированной поверхности с потоком ротора через эту поверхность. Если \(\Phi \) является ориентированной кусочно-гладкой поверхностью с границей \(\Gamma \), ориентации \(\Gamma \) и \(\Phi \) согласованы, а \(F\in C^{1}\) в окрестности поверхности, то
Положительное направление обхода границы определяется выбранной нормалью по правилу правой руки.
Что важно запомнить
- В левой части стоит циркуляция поля по границе поверхности.
- В правой части стоит поток \(\operatorname{rot} F\) через поверхность.
- Ориентации поверхности и её края должны быть согласованы.
- При смене нормали нужно одновременно изменить положительное направление края.
- Формула Грина является плоским частным случаем формулы Стокса.
Формула Стокса
Пусть \(\Phi \) является ориентированной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью, \(\Gamma =\partial \Phi \) является её краем, а \(F=(P,Q,R)\) принадлежит \(C^{1}\) в области, содержащей \(\Phi \). При согласованных ориентациях поверхности и края выполняется
Левая часть представляет циркуляцию поля по замкнутому контуру. Правая часть представляет поток ротора через поверхность.
Согласование ориентаций
Выбранная нормаль задаёт положительное направление обхода \(\Gamma \). Его можно определить правилом правой руки. Если большой палец правой руки направить вдоль положительной нормали, согнутые пальцы показывают положительный обход края.
Если изменить только направление обхода \(\Gamma \), левая часть поменяет знак и формула нарушится. Если одновременно сменить нормаль и ориентацию края, обе части изменят знак.
Связь с формулой Грина
Если \(\Phi \) лежит в плоскости \(z=0\) и ориентирована нормалью \((0,0,1)\), формула Стокса сводится к формуле Грина. Поэтому Стокс можно рассматривать как пространственное продолжение той же идеи.
Пример простыми словами
Возьмём \(F=(-\frac{y}{2},\frac{x}{2},0)\) и единичный диск в плоскости \(z=0\) с нормалью вверх. Тогда \(\operatorname{rot} F=(0,0,1)\). Поток ротора через диск равен \(\pi \). По формуле Стокса циркуляция \(F\) по единичной окружности против часовой стрелки также равна \(\pi \).
Частые ошибки
- Не согласовать направление обхода края с выбранной нормалью.
- Подставить \(\operatorname{div} F\) вместо \(\operatorname{rot} F\).
- Перепутать поверхностный поток ротора с потоком самого поля.
- Применять формулу без требуемой гладкости поля и поверхности.
