Поверхностный интеграл второго рода

Поверхностный интеграл второго рода является потоком векторного поля через ориентированную поверхность. Для \(F=(P,Q,R)\) и выбранной единичной нормали \(n\) он записывается как

\[\iint _{\Phi } F\cdot n dS=\iint _{\Phi }(P dy dz+Q dz dx+R dx dy)\].1

Если \(\Phi \) задана простым регулярным параметрическим листом \(r(u,v)\) и выбранная ориентация соответствует направлению \(r_{u}\times r_{v}\), то интеграл вычисляется как \(\iint _{D} F(r(u,v))\cdot (r_{u}\times r_{v})dudv\). При смене ориентации его знак меняется.

Что важно запомнить
  • Интеграл второго рода требует ориентированной поверхности.
  • Он равен потоку векторного поля через поверхность.
  • Для простого регулярного параметрического листа используется \(F(r(u,v))\cdot (r_{u}\times r_{v})\).
  • Смена нормали на противоположную меняет знак интеграла.
  • На односторонней поверхности нельзя непрерывно выбрать глобальную нормаль.
  • Для графика нужно согласовать знак с выбранной стороной поверхности.

Определение как потока

Пусть \(\Phi \) ориентирована единичной нормалью \(n=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\), а \(F=(P,Q,R)\) является непрерывным векторным полем. Поверхностный интеграл второго рода определяют формулой

\[\iint _{\Phi } F\cdot n dS=\iint _{\Phi }(P \cos \alpha +Q \cos \beta +R \cos \gamma )dS\].1

В традиционной координатной записи это тот же интеграл

\[\iint _{\Phi }(P dy dz+Q dz dx+R dx dy)\].

Параметрическая формула

Если \(\Phi \) задана простым регулярным параметрическим листом \(r(u,v)\) и выбранная ориентация соответствует направлению \(r_{u}\times r_{v}\), то

\[\iint _{\Phi } F\cdot n dS=\iint _{D} F(r(u,v))\cdot (r_{u}\times r_{v})dudv\].1

Здесь не берётся модуль векторного произведения. Его направление кодирует выбранную сторону поверхности. Поэтому для глобального интеграла второго рода поверхность должна допускать непрерывный выбор нормали.

График функции

Для графика \(z=g(x,y)\) с ориентацией вверх векторный элемент площади имеет вид \((-g_{x},-g_{y},1)dxdy\). Поэтому поток равен

\[\iint _{D}[-P g_{x}-Q g_{y}+R]dxdy\],

где \(P,Q,R\) вычисляются в точке \((x,y,g(x,y))\).

Пример простыми словами

Пусть \(\Phi \) является квадратом \(0\le x\le 1, 0\le y\le 1\) в плоскости \(z=0\) и ориентирован вверх. Для поля \(F=(0,0,1)\) имеем \(F\cdot n=1\). Поэтому поток через квадрат равен \(1\). При ориентации вниз результат был бы \(-1\).

Частые ошибки
  • Забывать выбрать сторону поверхности.
  • Ставить модуль у \(r_{u}\times r_{v}\) и тем самым терять информацию об ориентации.
  • Считать интеграл второго рода независимым от направления нормали.
  • Путать поток \(F\cdot n\) с поверхностным интегралом первого рода скалярной функции.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, IV семестр Механико-математический факультет МГУ. Гл. 4, §2, п. 2.3, определение 4.10: поверхностный интеграл II рода на ориентированной поверхности, потоковая и параметрическая формы, согласование с r_u×r_v и изменение знака при смене ориентации.