Поверхностный интеграл первого рода интегрирует скалярную функцию по площади поверхности. Пусть \(\Phi \) задана простым регулярным параметрическим листом \(r(u,v), (u,v)\in D\). Если функция \(f(r(u,v))\) риманово интегрируема на \(D\), то
Интеграл первого рода не зависит от выбора стороны поверхности. При \(f\equiv 1\) он равен площади \(\Phi \).
Что важно запомнить
- Интеграл первого рода интегрирует скалярную функцию.
- Формула применяется, когда соответствующий риманов интеграл в параметрах существует.
- Элемент площади равен \(dS=|r_{u}\times r_{v}|dudv\).
- Ориентация поверхности на значение не влияет.
- При \(f\equiv 1\) интеграл равен площади поверхности.
- Для графика \(z=g(x,y)\) элемент площади содержит множитель \(\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}\).
Определение и вычисление
Пусть \(\Phi \) является простым гладким параметрическим листом без особых точек и задана параметризацией \(r(u,v), (u,v)\in D\). Поверхностный интеграл первого рода в курсе определяется формулой
если соответствующий риманов интеграл существует. В условиях курса существование равносильно римановой интегрируемости функции \(f(r(u,v))\) на \(D\). Множитель \(|r_{u}\times r_{v}|\) переводит площадь в плоскости параметров в площадь на
Независимость от ориентации
В формуле используется длина векторного произведения, а не его направление. Поэтому смена нормали \(n\) на \(-n\) не меняет интеграл первого рода. Это отличает его от поверхностного интеграла второго рода.
График функции
Если поверхность задана графиком \(z=g(x,y)\), то можно взять \(r(x,y)=(x,y,g(x,y))\). Тогда
\[dS=\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}dxdy\],
и
\[\iint _{\Phi } f dS=\iint _{D} f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}dxdy\].
При \(f\equiv 1\) эта формула переходит в формулу площади поверхности.
Пример простыми словами
Для участка плоскости \(z=x+y\) над квадратом \(0\le x\le 1, 0\le y\le 1\) и \(f\equiv 1\) имеем \(dS=\sqrt{3} dxdy\). Поэтому \(\iint _{\Phi }1 dS=\sqrt{3}\).
Частые ошибки
- Интегрировать по области параметров без множителя \(|r_{u}\times r_{v}|\).
- Путать \(dS\) с обычным \(dxdy\).
- Считать, что интеграл первого рода меняет знак при смене стороны поверхности.
- Подставлять функцию \(f\) в параметры, но не преобразовывать элемент площади.
