Поверхность в \(\mathbb{R}^{3}\) удобно задавать параметрически вектором \(r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\). Для одного простого параметрического листа предполагают, что отображение \((u,v)\mapsto r(u,v)\) инъективно. Регулярность требует непрерывных первых производных и условия \(r_{u}\times r_{v}\ne 0\). Векторы \(r_{u}\) и \(r_{v}\) задают касательную плоскость, а их векторное произведение является
Ориентация поверхности представляет собой непрерывный выбор единичной нормали. Площадь простого регулярного листа вычисляется по формуле \(S=\iint _{D}|r_{u}\times r_{v}|dudv=\iint _{D}\sqrt{EG-F^{2}}dudv\), где
Что важно запомнить
- Поверхность можно задавать графиком или параметризацией \(r(u,v)\).
- Для простого параметрического листа отображение \((u,v)\mapsto r(u,v)\) берут инъективным.
- Регулярность требует \(r_{u}\times r_{v}\ne 0\).
- Касательная плоскость натянута на \(r_{u}\) и \(r_{v}\).
- Нормаль направлена вдоль \(r_{u}\times r_{v}\).
- Ориентация является непрерывным выбором единичной нормали.
- Элемент площади равен \(|r_{u}\times r_{v}|dudv\).
Задание и гладкость поверхности
Поверхность в \(\mathbb{R}^{3}\) может быть задана как график функции, неявным уравнением или параметрически. Для вычислений особенно удобна параметризация
\[r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)\in D\].
Для одного простого параметрического листа в курсе предполагается инъективность отображения \((u,v)\mapsto r(u,v)\). Гладкость локально означает возможность описать поверхность функциями класса \(C^{1}\) без особых точек. Для регулярной параметризации отсутствие особой точки эквивалентно условию
Касательная плоскость и нормаль
В точке \(M=r(u_{0},v_{0})\) векторы \(r_{u}(u_{0},v_{0})\) и \(r_{v}(u_{0},v_{0})\) лежат в касательной плоскости и при регулярности линейно независимы. Поэтому нормальный вектор можно взять в виде
\[N=r_{u}\times r_{v}\].
Единичные нормали имеют два возможных направления \(n=\pm \frac{N}{|N|}\).
Ориентация
Ориентацией поверхности называют непрерывное поле единичных нормалей. Если такой выбор возможен на всей поверхности, поверхность двусторонняя. Если нет, поверхность неориентируема. Классический пример неориентируемой поверхности представляет лист
Площадь
Для простого регулярного параметрического листа площадь равна
\[S=\iint _{D}|r_{u}\times r_{v}|dudv\].
Если \(E=r_{u}\cdot r_{u}, F=r_{u}\cdot r_{v}\) и \(G=r_{v}\cdot r_{v}\), то \(|r_{u}\times r_{v}|=\sqrt{EG-F^{2}}\). Поэтому
Для графика \(z=f(x,y)\) получается знакомая формула \(S=\iint _{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}dxdy\).
Пример простыми словами
Для плоскости \(z=x+y\) над единичным квадратом берём \(r(x,y)=(x,y,x+y)\). Тогда \(r_{x}=(1,0,1), r_{y}=(0,1,1)\) и \(|r_{x}\times r_{y}|=\sqrt{3}\). Поэтому площадь соответствующего куска поверхности равна \(\sqrt{3}\).
Частые ошибки
- Считать любую \(C^{1}\)-параметризацию регулярной без проверки \(r_{u}\times r_{v}\ne 0\).
- Использовать неинъективную параметризацию как один глобальный лист и не учитывать возможное многократное покрытие поверхности.
- Путать нормаль с одним из касательных векторов.
- Считать гладкость поверхности достаточной для глобальной ориентируемости.
- Забывать множитель \(|r_{u}\times r_{v}|\) при вычислении площади.
