Пусть \(D\subset \mathbb{R}^{2}\) является ограниченной областью с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей \(\partial D\). Пусть функции \(P\) и \(Q\) имеют непрерывные первые частные производные в окрестности замыкания \(D\). Тогда формула Грина связывает криволинейный интеграл по границе с двойным интегралом по области
Положительная ориентация означает, что область \(D\) при обходе её границы остаётся слева. Формула является двумерным частным случаем идеи Стокса.
Что важно запомнить
- В левой части стоит интеграл второго рода по границе области.
- В правой части интегрируется \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\).
- Граница должна быть ориентирована согласованно с областью.
- Для положительной ориентации область остаётся слева.
- При обратной ориентации знак криволинейного интеграла меняется.
Формулировка формулы Грина
Пусть \(D\) является ограниченной плоской областью, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких простых контуров. Ориентируем границу положительно. Пусть \(P\) и \(Q\) принадлежат \(C^{1}\) в области, содержащей замыкание \(D\). Тогда
Формула переводит интеграл по одномерной границе в двойной интеграл по двумерной области. Именно поэтому она особенно полезна при вычислении циркуляции и площади.
Роль ориентации
Положительная ориентация выбирается так, чтобы область при движении по границе оставалась слева. Если направление обхода изменить на противоположное, левая часть формулы меняет знак. Поэтому знак в формуле и ориентацию границы нужно проверять
Следствие для площади
Выбирая \(P=-\frac{y}{2}\) и \(Q=\frac{x}{2}\), получаем \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1\). Следовательно, площадь области можно вычислять по формуле
\[|D|=\frac{1}{2}\oint _{(\partial D)^{+}}(x dy-y dx)\].
Это удобное применение формулы Грина к геометрической задаче.
Пример простыми словами
Для единичного круга возьмём \(P=-\frac{y}{2}\) и \(Q=\frac{x}{2}\). Тогда \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1\). Формула Грина даёт \(\frac{1}{2}\oint (x dy-y dx)=\iint _{D}1 dxdy=\pi \).
Частые ошибки
- Перепутать порядок производных и написать \(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\).
- Использовать отрицательную ориентацию без изменения знака.
- Применять формулу к области, для которой не проверены условия на границу и гладкость \(P,Q\).
- Путать формулу Грина с критерием полного дифференциала.
