Теорема Жордана о простой замкнутой кривой. Контур и его ориентация

Теорема Жордана утверждает, что простая замкнутая кривая \(\Gamma \) на плоскости разделяет \(\mathbb{R}^{2}\) на две связные компоненты. Одна из них ограничена и называется внутренней областью, другая неограничена и называется внешней областью. Сама кривая является общей границей обеих областей.1

В задачах на криволинейные интегралы контуром называют замкнутую гладкую или кусочно-гладкую кривую. Ориентация задаёт одно из двух направлений обхода контура. Положительная ориентация границы плоской области выбирается так, чтобы область при движении по контуру оставалась слева.2

Что важно запомнить
  • Простая замкнутая кривая не имеет самопересечений и замыкается в исходной точке.
  • По теореме Жордана она отделяет внутреннюю область от внешней.
  • Кривая является общей границей двух получившихся областей.
  • Ориентация контура задаёт направление его обхода.
  • При положительном обходе плоская область остаётся слева.

Теорема Жордана

Простой замкнутой кривой на плоскости называют кривую без самопересечений, которая возвращается в исходную точку.

Теорема Жордана утверждает, что множество \(\mathbb{R}^{2}\setminus \Gamma \) состоит ровно из двух связных компонент. Одна компонента ограничена. Её называют внутренностью кривой. Вторая компонента неограничена и образует внешность. Кривая \(\Gamma \) является общей границей обеих компонент.1

Для самой теоремы гладкость не требуется. Кусочная гладкость появляется позже, когда по кривой нужно вычислять интегралы.

Контур и ориентация

В курсе кратных и криволинейных интегралов контуром называют замкнутую гладкую или кусочно-гладкую кривую. Ориентация контура означает выбор одного из двух направлений обхода.2

Если контур является границей плоской области \(D\), положительная ориентация выбирается так, чтобы при движении по контуру прилегающая часть \(D\) оставалась слева. Для простой границы это соответствует обходу внешней границы против часовой стрелки. Противоположный обход называется отрицательным.2

Ориентация важна для криволинейного интеграла второго рода. При смене направления обхода такой интеграл меняет знак.

Пример простыми словами

Единичная окружность \(\gamma (t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le 2\pi \), является простой замкнутой кривой. Она отделяет единичный диск от внешней области. При росте \(t\) окружность обходится против часовой стрелки, поэтому относительно диска это положительная ориентация.

Частые ошибки
  • Считать простой замкнутой кривой кривую с самопересечением.
  • Приписывать теореме Жордана требование гладкости.
  • Путать внутреннюю область с самой кривой.
  • Забывать, что ориентация относится к направлению обхода, а не к геометрической форме контура.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Encyclopedia of Mathematics. Jordan theorem Формулировка теоремы Жордана: простая замкнутая кривая на плоскости разбивает R² на две связные компоненты, ограниченную и неограниченную, и является их общей границей.
  2. 2 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, IV семестр Механико-математический факультет МГУ. Гл. 3, §2, п. 2.4: определения гладкого и кусочно-гладкого контура, положительная ориентация границы области и обозначение ∂D+.