Для непрерывной дифференциальной формы \(\omega =P dx+Q dy+R dz\) в области \(D\) следующие свойства связаны между собой. Интеграл между двумя точками не зависит от выбранного пути тогда и только тогда, когда существует потенциал \(U\), для которого \(dU=\omega \). В этом случае \(\int _{\Gamma }\omega =U(B)-U(A)\), а интеграл по любой замкнутой кривой равен
В односвязной области \(D\subset \mathbb{R}^{2}\) для \(P,Q\in C^{1}(D)\) форма \(P dx+Q dy\) является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда
Что важно запомнить
- Независимость от пути означает одинаковое значение для любых двух путей с общими концами.
- Эквивалентное условие состоит в нулевом интеграле по каждой замкнутой кривой.
- Если \(\omega =dU\), то интеграл равен \(U(B)-U(A)\).
- Равенство \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) является достаточным в односвязной области.
- Без односвязности равенство смешанных производных может быть недостаточным.
- Потенциал определён с точностью до аддитивной постоянной.
Независимость от пути
Пусть \(D\) является областью и \(\omega =P dx+Q dy+R dz\) имеет непрерывные коэффициенты. Интеграл не зависит от пути, если для любых \(A,B\in D\) все кусочно-гладкие пути из \(A\) в \(B\) дают одно и то же значение.
Это эквивалентно существованию функции \(U:D\to \mathbb{R}\) такой, что
Тогда для любого пути \(\Gamma \) от \(A\) к \(B\)
\[\int _{\Gamma }\omega =U(B)-U(A)\].
Отсюда сразу следует, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.
Критерий полного дифференциала на плоскости
Пусть \(D\subset \mathbb{R}^{2}\) односвязно, \(P,Q\in C^{1}(D)\). Тогда
\[P dx+Q dy=dU\]
для некоторой \(U\) тогда и только тогда, когда
Односвязность существенна для достаточности. На области с отверстием форма может удовлетворять равенству смешанных производных, но иметь ненулевой интеграл вокруг отверстия.
Пример простыми словами
Для формы \(2x dx+2y dy\) имеем \(U(x,y)=x^{2}+y^{2}\). Поэтому интеграл между \(A\) и \(B\) равен \(U(B)-U(A)\) и не зависит от пути. Например, от \((0,0)\) до \((1,2)\) значение равно \(5\).
Частые ошибки
- Проверять только равенство \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) и забывать условие односвязности области.
- Путать независимость от пути с независимостью от ориентации.
- Считать потенциал единственным без оговорки о добавочной постоянной.
- Забывать, что для полного дифференциала интеграл по замкнутому контуру равен нулю.
