Криволинейный интеграл второго рода интегрирует дифференциальную форму вдоль ориентированной кривой. Для плоской кривой \(\Gamma \) и формы \(P dx+Q dy\) при параметризации \(x=x(t), y=y(t), a\le t\le b\),
В \(\mathbb{R}^{3}\) добавляется слагаемое \(R dz\). При изменении ориентации кривой интеграл второго рода меняет знак.
Что важно запомнить
- Интеграл второго рода зависит от ориентации.
- В параметрической формуле \(dx=x'(t)dt\) и \(dy=y'(t)dt\).
- Для пространственной кривой добавляется \(Rz'(t)\).
- Интеграл можно записать как \(\int _{\Gamma } F\cdot d r\).
- Смена направления обхода умножает значение на \(-1\).
- По кусочно-гладкой кривой интеграл равен сумме интегралов по её дугам.
Определение и смысл
Пусть \(\Gamma \) является ориентированной кусочно-гладкой кривой, а \(P\) и \(Q\) непрерывны в её окрестности. Интеграл
\[\int_{\Gamma}\left(P\,dx+Q\,dy\right)\]
называют криволинейным интегралом второго рода. Он учитывает не только положение точки на кривой, но и направление движения. В векторной записи это интеграл
Вычисление
Пусть \(\Gamma \) задана параметрически
\[x=x(t), y=y(t), a\le t\le b\].
Тогда \(dx=x'(t)dt\) и \(dy=y'(t)dt\). Поэтому
Для пространственной кривой \(\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))\) имеем
\[\int_{\Gamma}\left(P\,dx+Q\,dy+R\,dz\right)=\int _{a}^{b}[Px'+Qy'+Rz']dt\].
Ориентация
Если пройти ту же геометрическую кривую в обратном направлении, производная параметризации меняет направление. Поэтому интеграл второго рода меняет знак.
Пример простыми словами
Для \(\Gamma \), являющейся отрезком от \((0,0)\) до \((1,1)\), возьмём \(x=t, y=t, 0\le t\le 1\) и форму \(y dx+x dy\). Тогда интеграл равен \(\int _{0}^{1}(t+t)dt=1\). При движении от \((1,1)\) к \((0,0)\) получится \(-1\).
Частые ошибки
- Забывать производные \(x'(t), y'(t)\) при переходе к параметру.
- Считать интеграл второго рода независимым от ориентации.
- Подменять \(P dx+Q dy\) выражением \(P+Q\).
- Менять параметризацию так, что направление кривой меняется, и не менять знак результата.
