Криволинейный интеграл первого рода \(\int _{\Gamma } f ds\) интегрирует скалярную функцию по длине кривой. Пусть \(\Gamma \) имеет кусочно\(-C^{1}\) регулярную параметризацию \(\gamma (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t)), a\le t\le b\), а \(f\) непрерывна на \(\Gamma \). Тогда
Интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой. При \(f\equiv 1\) он равен длине \(\Gamma \).
Что важно запомнить
- Интеграл первого рода использует элемент длины \(ds\).
- При параметризации \(ds=|\gamma '(t)|dt\).
- Множитель \(|\gamma '(t)|\) нельзя пропускать.
- Изменение направления обхода не меняет значение интеграла первого рода.
- При \(f\equiv 1\) получается длина кривой.
- Формула переносится на кусочно-гладкие кривые суммированием по гладким дугам.
Определение
Пусть \(\Gamma \) является спрямляемой кривой, а \(f\) непрерывна на \(\Gamma \). Разбивают кривую на малые дуги длины \(\Delta s_{k}\), выбирают на каждой дуге точку \(\xi _{k}\) и составляют сумму
\[\sum f(\xi _{k})\Delta s_{k}\].
Предел таких сумм при измельчении разбиения называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается
Вычисление по параметризации
Если \(\Gamma \) задана кусочно\(-C^{1}\) регулярной параметризацией \(\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}^{n}\), то
\[ds=|\gamma '(t)|dt\],
поэтому
Для плоской кривой \(|\gamma '(t)|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}\). Для пространственной кривой
\[|\gamma '(t)|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}\].
Свойства
Интеграл линейный по \(f\) и аддитивный по разбиению кривой на дуги. Поскольку \(ds\) является положительным элементом длины, смена ориентации \(\Gamma \) не меняет значение интеграла.
Пример простыми словами
На окружности радиуса \(R\) при \(f\equiv 1\) имеем \(\gamma (t)=(R \cos t,R \sin t), 0\le t\le 2\pi \). Тогда \(|\gamma '(t)|=R\) и \(\int _{\Gamma }1 ds=\int _{0}^{2\pi }R dt=2\pi R\), то есть длина окружности.
Частые ошибки
- Вычислять \(\int f(\gamma (t))dt\) без множителя \(|\gamma '(t)|\).
- Считать, что интеграл первого рода меняет знак при смене ориентации.
- Путать \(ds\) с \(dx\) или \(dy\).
- Использовать формулу гладкой параметризации через точку, где \(\gamma '(t)=0\), не проверив допустимость разбиения на гладкие дуги.
