Для открытого множества \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) выбирают исчерпание измеримыми компактами \(K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset G\), которые постепенно заполняют \(G\). Если \(f\) локально ограничена, её множество разрывов имеет меру нуль и для любого допустимого исчерпания существует один и тот же конечный предел
\[\lim _{l\to \infty }\int _{K_{l}}f\],
то этот предел называют несобственным кратным интегралом
Если несобственный интеграл \(\int _{G}|f|\) конечен, то \(\int _{G} f\) также
Что важно запомнить
- Несобственность возникает из-за неограниченной области или поведения функции у исключённых точек и границы.
- Интеграл определяется пределом обычных интегралов по компактным частям области.
- Значение не должно зависеть от способа исчерпания.
- Для знакопеременной функции абсолютная сходимость является надёжным достаточным условием.
- Нельзя заменять многомерное исчерпание произвольным последовательным пределом по координатам.
Исчерпание области
Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто. Исчерпанием называют возрастающую последовательность компактных множеств \(K_{l}\subset G\), которая в итоге захватывает каждую компактную часть \(G\). В курсе используются измеримые
Определение несобственного интеграла
Пусть \(f\) локально ограничена на \(G\) и множество её разрывов имеет меру нуль. Для каждого \(K_{l}\) обычный интеграл Римана \(\int _{K_{l}}f\) определён. Если предел
\[\lim _{l\to \infty }\int _{K_{l}}f\]
существует, конечен и даёт одно и то же значение для любого допустимого исчерпания, то \(f\) интегрируема на \(G\) в несобственном смысле. Это значение обозначают
Абсолютная сходимость
Если \(\int _{G}|f|\) сходится в несобственном смысле, то сходится и \(\int _{G} f\). Это многомерный аналог знакомого достаточного условия для несобственного интеграла одной
Требование независимости от исчерпания существенно. Оно исключает условно заданные пределы, которые меняются при различном способе приближения к бесконечности или к особому множеству.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}\) на \(\mathbb{R}^{2}\) возьмём круги \(K_{R}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}\). В полярных координатах \(\int _{K_{R}}f=2\pi \int _{0}^{R} r e^{-r^{2}}dr=\pi (1-e^{-R^{2}})\), поэтому при \(R\to \infty \) получаем \(\pi \). Для любого другого допустимого исчерпания каждый его компакт содержится в достаточно большом \(K_{R}\), а каждый \(K_{R}\) со временем содержится в исчерпании. Из неотрицательности \(f\) и монотонности интеграла следует тот же предел \(\pi \).
Частые ошибки
- Считать достаточным существование предела только для одного произвольно выбранного исчерпания в общей знакопеременной ситуации.
- Путать несобственный кратный интеграл с повторным несобственным интегралом.
- Оставлять внутри \(G\) точку, в которой функция не локально ограничена, и применять определение 2.9 без изменения области. Особую точку нужно исключить из \(G\) и приближаться к ней исчерпанием.
- Делать вывод о сходимости \(\int f\) только из поточечного стремления \(f\) к нулю.
