Пусть \(\varphi :D_{t}\to D_{x}\) является \(C^{1}\)-диффеоморфизмом областей в \(\mathbb{R}^{n}\) и \(\Omega _{x}=\varphi (\Omega _{t})\). При условиях теоремы замены переменных для \(f\in R(\Omega _{x})\) выполняется
Множитель \(|\det D\varphi |\) является локальным коэффициентом изменения \(n\)-мерного объёма. Модуль нужен потому, что обычный кратный интеграл не зависит от ориентации координат.
Что важно запомнить
- Замена должна быть взаимно однозначной в области применения формулы.
- Для классической римановой версии используется \(C^{1}\)-диффеоморфизм.
- Область \(\Omega _{x}\) является образом области \(\Omega _{t}\).
- В подынтегральную функцию подставляется \(x=\varphi (t)\).
- Элемент объёма умножается на \(|\det D\varphi (t)|\).
- Нулевой якобиан несовместим с локальным \(C^{1}\)-диффеоморфизмом.
Формула замены переменных
Пусть \(D_{t},D_{x}\subset \mathbb{R}^{n}\) являются областями и \(\varphi :D_{t}\to D_{x}\) является \(C^{1}\)-диффеоморфизмом. Пусть \(\Omega _{t}\subset D_{t}\) является подходящим измеримым множеством, \(\Omega _{x}=\varphi (\Omega _{t})\), а \(f\) интегрируема на \(\Omega _{x}\). Тогда
Определитель \(\det D\varphi (t)\) называют якобианом замены. Он показывает, во сколько раз отображение изменяет малый \(n\)-мерный объём около точки \(t\).
Почему берётся модуль
Определитель может быть отрицательным, если отображение меняет ориентацию. Объём при этом остаётся неотрицательной величиной. Поэтому в формуле стоит \(|\det D\varphi |\).
Как применять формулу
Сначала задают новую область \(\Omega _{t}\) и проверяют, что \(\varphi \) переводит её в исходную область \(\Omega _{x}\). Затем выражают \(f\) через новые переменные. После этого вычисляют \(D\varphi \) и его определитель. В конце умножают подынтегральную функцию на модуль якобиана и интегрируют по \(\Omega _{t}\).
Пример простыми словами
Для полярной замены \(x=r \cos \theta , y=r \sin \theta \) имеем \(|\det D\varphi |=r\). Строго говоря, полярная карта не является взаимно однозначной на всём прямоугольнике \(0\le r\le R, 0\le \theta \le 2\pi \). На области \(0\lt r\lt R, 0\lt \theta \lt 2\pi \) она задаёт диффеоморфизм на диск с удалённым лучом. Удалённые луч, центр и границы имеют плоскую меру нуль, поэтому для риманово интегрируемой функции их добавление не меняет интеграл. В результате для круга получаем \(\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R} f(r \cos \theta ,r \sin \theta )r drd\theta \).
Частые ошибки
- Подставлять новые переменные, но не менять область интегрирования.
- Забывать множитель \(|\det D\varphi |\).
- Использовать \(\det D\varphi \) без модуля в обычном кратном интеграле.
- Применять формулу там, где замена не является взаимно однозначной на выбранной области.
- Считать полярную карту глобальным диффеоморфизмом на \([0,R]\times [0,2\pi ]\) без оговорки о множествах меры нуль.
