Липшицевы отображения, множества меры нуль и замена переменной в интеграле

Отображение \(F:E\to \mathbb{R}^{n}\) называется липшицевым, если существует \(L\ge 0\) такое, что \(|F(x)-F(y)|\le L|x-y|\) для всех \(x,y\in E\). Липшицево отображение \(\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\) переводит множества лебеговой меры нуль в множества меры нуль.2

Это свойство используется в теории замены переменных. \(C^{1}\)-отображение на компактном множестве локально контролируется своей производной и является липшицевым на подходящих компактных частях. Поэтому нуль-множества и границы не создают дополнительного объёма. Для \(C^{1}\)-диффеоморфизма \(\varphi \) формула замены переменных содержит множитель \(|\det D\varphi |\).1

Что важно запомнить
  • Липшицево условие даёт линейный контроль расстояний.
  • В одинаковой размерности липшицево отображение сохраняет множества меры нуль.
  • Ограниченность производной \(C^{1}\)-отображения на компактной выпуклой части даёт липшицеву оценку.
  • В формуле замены переменных используется модуль определителя Якоби.
  • Сохранение нуль-множеств является частью обоснования формулы, но само по себе не заменяет условия диффеоморфизма.

Липшицево отображение

Отображение \(F:E\to \mathbb{R}^{n}\) называется липшицевым с константой \(L\), если

\[|F(x)-F(y)|\le L|x-y|\]

для всех \(x,y\in E\).

Если \(\mu (E_{0})=0\) и \(F\) липшицево, то \(\mu (F(E_{0}))=0\).2 Идея доказательства проста. Покрывают \(E_{0}\) малыми кубами с произвольно малой суммой объёмов. Диаметр образа каждого куба увеличивается не более чем в \(L\) раз, поэтому \(n\)-мерный объём подходящего покрывающего куба увеличивается не более чем в постоянное число раз порядка \(L^{n}\).

Почему это важно для \(C^{1}\)-отображений

Если \(F\) принадлежит \(C^{1}\), то на компактной выпуклой части области её производная ограничена. Из формулы конечных приращений получается липшицева оценка. Поэтому \(C^{1}\)-отображения сохраняют нуль-множества на таких частях. В курсе это используется при доказательстве сохранения измеримости и формулы замены переменных.1

Связь с заменой переменных

Для \(C^{1}\)-диффеоморфизма \(\varphi \) между областями одинаковой размерности изменение локального объёма задаётся \(|\det D\varphi |\). Поэтому при выполнении условий теоремы

\[\int _{\varphi (A)}f(x)dx=\int _{A} f(\varphi (t))|\det D\varphi (t)|dt\].1

Липшицев контроль отвечает за корректное поведение малых и нулевых множеств, а якобиан отвечает за масштабирование объёма в регулярных точках.

Пример простыми словами

Линейное отображение \(F(x)=Ax\) является липшицевым с константой не больше нормы матрицы \(A\). Если \(\det A\ne 0\), то при замене \(x=At\) объём умножается на \(|\det A|\), и формула принимает вид \(\int _{A(B)}f(x)dx=\int _{B} f(At)|\det A|dt\).

Частые ошибки
  • Считать любое непрерывное отображение липшицевым.
  • Утверждать, что липшицево отображение сохраняет численное значение меры.
  • Забывать модуль в \(|\det D\varphi |\).
  • Считать одного сохранения нуль-множеств достаточным условием классической формулы замены переменных.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, IV семестр Механико-математический факультет МГУ. Гл. 1, §2, теорема 1.4 о сохранении меры нуль при C^1-отображении. Гл. 2, §4: поведение нуль-множеств при диффеоморфизме и формула замены переменных.
  2. 2 Wheeden R. L., Zygmund A. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis Раздел Lipschitz Transformations of R^n, теорема 3.33. В доказательстве явно установлено, что липшицево отображение переводит множества меры нуль в множества меры нуль, используя контроль диаметров и покрытие кубами.