Пусть \(I=I_{m}\times I_{n}\) является брусом и \(f\in R(I)\). Теорема Фубини допускает исключительное множество \(B\subset I_{m}\) меры нуль. Если для каждого \(x\in I_{m}\setminus B\) существует внутренний интеграл \(\int _{I_{n}}f(x,y)dy\), положим \(F(x)\) равным этому интегралу вне \(B\) и, например, \(F(x)=0\) на \(B\). Тогда \(F\in R(I_{m})\) и \(\int _{I} f=\int _{I_{m}}F(x)dx\). Аналогичное утверждение верно после перестановки групп переменных. Для непрерывной \(f\) можно взять
Для цилиндроида между графиками \(\varphi _{1}\) и \(\varphi _{2}\) удобный достаточный вариант условий таков. \(\Omega \) ограничено и измеримо по Жордану, \(\varphi _{1}\) и \(\varphi _{2}\) непрерывны на замыкании \(\Omega , \varphi _{1}\le \varphi _{2}\), а \(f\) непрерывна на замыкании цилиндроида. Тогда
Что важно запомнить
- Фубини превращает кратный интеграл в повторный интеграл меньшей размерности.
- Для общей риманово интегрируемой функции внутренний интеграл может не существовать при отдельных значениях параметра.
- В варианте курса допускается исключительное множество внешних параметров меры нуль.
- Для непрерывной функции на компактном брусе исключительное множество не требуется.
- В цилиндроиде пределы внутреннего интеграла зависят от внешней переменной.
- Порядок интегрирования меняют только после проверки условий соответствующей теоремы.
Фубини для бруса
Пусть \(I=I_{m}\times I_{n}\), где \(I_{m}\subset \mathbb{R}^{m}\) и \(I_{n}\subset \mathbb{R}^{n}\) являются брусами, а \(f\in R(I)\). В формулировке курса допускается множество \(B\subset I_{m}\) меры нуль, на котором внутренний интеграл может не существовать.
Для \(x\in I_{m}\setminus B\) положим
\[F(x)=\int _{I_{n}}f(x,y)dy\],
а на \(B\) зададим \(F\) ограниченным образом, например \(F(x)=0\). Тогда \(F\in R(I_{m})\) и
После перестановки групп переменных действует симметричное утверждение. Если \(f\) непрерывна на \(I\), все внутренние интегралы существуют и можно взять \(B=\varnothing \).
Фубини для цилиндроида
Рассмотрим область между графиками
\[A=\{(x,y):x\in \Omega , \varphi _{1}(x)\le y\le \varphi _{2}(x)\}\].
Удобный достаточный набор условий состоит в следующем. Множество \(\Omega \) ограничено и измеримо по Жордану. Функции \(\varphi _{1}\) и \(\varphi _{2}\) непрерывны на замыкании \(\Omega \) и удовлетворяют \(\varphi _{1}\le \varphi _{2}\). Функция \(f\) непрерывна на замыкании \(A\). Тогда \(A\) измеримо и
Более общая теорема допускает ослабление этих достаточных условий, но при вычислениях важно отдельно проверить существование внутренних интегралов и интегрируемость полученной внешней функции.
Пример простыми словами
На треугольнике \(A=\{(x,y):0\le x\le 1, 0\le y\le x\}\) интеграл функции \(f(x,y)=x+y\) вычисляется как \(\int _{0}^{1}[\int _{0}^{x}(x+y)dy]dx=\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Считать, что из одной римановой интегрируемости на брусе внутренний интеграл существует для каждого фиксированного параметра.
- Забывать, что теорема допускает исключительное множество параметров меры нуль.
- Перепутывать внешнюю область \(\Omega \) с вертикальным сечением цилиндроида.
- Менять порядок интегрирования без пересчёта пределов.
- Использовать повторный интеграл без проверки условий Фубини.
