Для риманово интегрируемых функций на измеримом множестве \(A\) выполняются стандартные алгебраические и порядковые свойства. Линейная комбинация \(\alpha f+\beta g\) интегрируема и её интеграл равен \(\alpha \int _{A} f+\beta \int _{A} g\). Произведение \(fg\) и модуль \(|f|\) также
Если \(f\ge 0\), то \(\int _{A} f\ge 0\). Если \(f\le g\), то \(\int _{A} f\le \int _{A} g\). Выполняется оценка \(|\int _{A} f|\le \int _{A}|f|\). Для измеримых частей область интегрирования аддитивна, а ограничение интегрируемой функции на измеримое подмножество снова
Что важно запомнить
- Линейность относится и к функции, и к значению интеграла.
- Из \(f,g\in R(A)\) следует \(fg\in R(A)\), но интеграл произведения обычно не равен произведению интегралов.
- Неотрицательность функции влечёт неотрицательность интеграла.
- Всегда выполняется \(|\int _{A} f|\le \int _{A}|f|\).
- Для непересекающихся измеримых \(A_{1}\) и \(A_{2}\) интеграл по \(A_{1}\cup A_{2}\) равен сумме интегралов.
- Если \(B\subset A\) измеримо, то интегрируемую на \(A\) функцию можно интегрировать по \(B\).
Алгебраические свойства
Если \(f,g\in R(A)\) и \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\), то \(\alpha f+\beta g\in R(A)\) и
\[\int _{A}(\alpha f+\beta g)=\alpha \int _{A} f+\beta \int _{A} g\].
Кроме того, \(fg\) и \(|f|\) интегрируемы на Последнее утверждение особенно важно для оценок. Из интегрируемости произведения не следует формула \(\int _{A}fg=(\int _{A}f)(\int _{A}g)\).
Знак и модуль
Если \(f\ge 0\) на \(A\), то \(\int _{A} f\ge 0\). Поэтому из \(f\le g\) следует
\[\int _{A} f\le \int _{A} g\].
Применяя это к \(-|f|\le f\le |f|\), получаем
Аддитивность по области
Если \(A_{1}\) и \(A_{2}\) измеримы и не пересекаются, а \(f\) интегрируема на \(A_{1}\cup A_{2}\), то
\[\int _{A_{1}\cup A_{2}}f=\int _{A_{1}}f+\int _{A_{2}}f\].
Для пересекающихся множеств используется формула включения и исключения с вычитанием интеграла по \(A_{1}\cap A_{2}\). Если \(B\subset A\) измеримо и \(f\in R(A)\), то ограничение \(f\) на \(B\) также
Пример простыми словами
Пусть \(A=[0,1], f(x)=x\) и \(g(x)=1-x\). Обе функции и их произведение интегрируемы. При этом \(\int _{0}^{1}fg dx=\frac{1}{6}\), а \((\int _{0}^{1}f dx)(\int _{0}^{1}g dx)=\frac{1}{4}\). Это показывает, что свойство произведения означает интегрируемость \(fg\), а не мультипликативность интеграла.
Частые ошибки
- Считать, что \(\int fg=(\int f)(\int g)\).
- Применять аддитивность по области без учёта пересечения множеств.
- Забывать абсолютную величину в оценке \(|\int f|\le \int |f|\).
- Делать вывод \(\int f\gt 0\) только из \(f\ge 0\). Интеграл может быть равен нулю.
