Пусть \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) ограничено и \(I\) является брусом, содержащим \(A\). Для функции \(f:A\to \mathbb{R}\) вводят продолжение нулём \(f\chi _{A}\) на \(I\). По определению \(f\) интегрируема по Риману на \(A\) тогда и только тогда, когда \(f\chi _{A}\) интегрируема по Риману на \(I\), а \(\int _{A} f=\int _{I} f\chi _{A}\). Значение не зависит от выбора содержащего
Если \(A\) измеримо по Жордану и \(f\) ограничена на \(A\), то критерий Лебега имеет вид \(f\in R(A)\) тогда и только тогда, когда множество точек разрыва \(f\) относительно \(A\) имеет меру
Что важно запомнить
- Интеграл по \(A\) определяется через продолжение функции нулём на содержащий брус.
- Для самого определения \(A\) должно быть ограничено. В критерии Лебега \(A\) дополнительно предполагается измеримым по Жордану.
- Непрерывность и разрывы функции рассматриваются относительно множества \(A\).
- Граница измеримого по Жордану множества имеет меру нуль.
- Для \(f=1\) интеграл по \(A\) равен мере Жордана \(|A|\).
Определение интеграла на ограниченном множестве
Пусть \(A\subset I\subset \mathbb{R}^{n}\), где \(I\) является брусом. Для \(f:A\to \mathbb{R}\) рассмотрим функцию на \(I\)
\(f_{A}(x)=f(x)\), если \(x\in A\), и \(f_{A}(x)=0\), если \(x\notin A\).
Это та же функция \(f\chi _{A}\). По определению
\[f\in R(A) \Leftrightarrow f\chi _{A}\in R(I)\],
а интеграл задаётся формулой
Если выбрать другой достаточно большой брус, значение не изменится, потому что вне \(A\) продолжение равно нулю.
Критерий Лебега
Пусть \(A\) измеримо по Жордану и \(f\) ограничена на \(A\). Обозначим через \(E(f)\) множество точек \(A\), в которых \(f\) не непрерывна относительно \(A\). Тогда
Граница \(A\) не создаёт дополнительного препятствия, поскольку для измеримого по Жордану множества \(\mu (\partial A)=0\). Поэтому интегрируемость определяется тем, насколько велико множество собственных разрывов \(f\) внутри \(A\) и на его относительной границе.
Пример простыми словами
Для \(f\equiv 1\) на измеримом по Жордану множестве \(A\) имеем \(\int _{A}1 dx=|A|\). Например, если \(A\) является треугольником с вершинами \((0,0), (1,0), (1,1)\), то интеграл единицы по \(A\) равен его площади \(\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Определять интеграл по \(A\) без продолжения функции нулём или эквивалентной конструкции.
- Забывать, что в критерии Лебега функция должна быть ограничена, а множество \(A\) должно быть измеримо по Жордану.
- Считать все точки границы \(A\) разрывами самой функции \(f\) относительно \(A\).
- Путать меру множества разрывов с величиной значений функции.
