Ограниченные измеримые по Жордану множества устойчивы относительно конечных объединений, пересечений и разностей. В частности, если \(A\) и \(B\) измеримы по Жордану, то \(A\cup B, A\cap B\) и \(A\setminus B\) также измеримы. Это следует из включений для границ, например \(\partial (A\cup B)\subset \partial A\cup \partial B\), и того, что конечное объединение множеств меры нуль снова имеет меру
Если \(A\) ограничено и измеримо по Жордану, замыкание \(A\) компактно содержится в открытом \(G\subset \mathbb{R}^{n}\), а \(F:G\to \mathbb{R}^{n}\) принадлежит \(C^{1}\), то \(F(A)\) также ограничено и измеримо по
Что важно запомнить
- Для измеримости по Жордану нужно контролировать границу множества.
- Конечные объединения и пересечения измеримых по Жордану множеств измеримы.
- Разность \(A\setminus B\) также измерима, если \(A\) и \(B\) измеримы.
- Теорема о \(C^{1}\)-образе требует, чтобы множество вместе со своим замыканием лежало внутри области определения отображения.
- В теореме отображение действует между пространствами одинаковой размерности \(\mathbb{R}^{n}\).
Операции над измеримыми множествами
Для ограниченного множества \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) измеримость по Жордану эквивалентна условию \(\mu (\partial A)=0\). Поэтому операции удобно проверять через границы.
Если \(A\) и \(B\) измеримы по Жордану, то
\[\partial (A\cup B)\subset \partial A\cup \partial B\],
\[\partial (A\cap B)\subset \partial A\cup \partial B\].
Объединение \(\partial A\cup \partial B\) имеет меру нуль. Поэтому \(A\cup B\) и \(A\cap B\) измеримы. Конечные объединения и пересечения получают повторением этого аргумента. Для разности справедливо \(\partial (A\setminus B)\subset \partial A\cup \partial B\), поэтому \(A\setminus B\) тоже
Образ при \(C^{1}\)-отображении
Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто, \(A\) ограничено и измеримо по Жордану, а замыкание \(A\) содержится в \(G\). Если \(F:G\to \mathbb{R}^{n}\) принадлежит \(C^{1}(G)\), то \(F(A)\) ограничено и измеримо по
У регулярной точки, где \(\det DF\ne 0\), отображение локально является диффеоморфизмом. Поэтому внутренняя точка \(A\) переходит во внутреннюю точку \(F(A)\). Регулярная часть границы образа может возникать только из образа границы \(A\). Множество \(\partial A\) имеет меру нуль, и \(C^{1}\)-отображение одинаковой размерности сохраняет нуль-множества. Критические значения также имеют меру нуль по теореме Сарда. Это объясняет, почему граница \(F(A)\) имеет меру
Пример простыми словами
Если \(A\) и \(B\) являются двумя замкнутыми прямоугольниками на плоскости, то их объединение, пересечение и разность измеримы по Жордану. При гладком отображении \(F(x,y)=(x+y,y)\) их образы также остаются измеримыми по Жордану.
Частые ошибки
- Считать, что счётное объединение измеримых по Жордану множеств обязательно измеримо по Жордану.
- Применять теорему о \(C^{1}\)-образе, когда замыкание \(A\) выходит из области определения \(F\).
- Путать сохранение измеримости с сохранением численного значения меры.
- Считать произвольное непрерывное отображение достаточным для указанной теоремы.
