Ограниченное множество \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) называется измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда его граница \(\partial A\) имеет лебегову меру нуль. Эквивалентно, характеристическая функция \(\chi _{A}\) интегрируема по Риману на любом содержащем \(A\) брусе. Мера Жордана определяется формулой
Множество имеет объём нуль, если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) его можно покрыть конечным числом брусов с суммарным объёмом меньше Это условие сильнее обычного определения лебеговой меры нуль, где разрешается счётное покрытие.
Что важно запомнить
- Измеримость по Жордану рассматривается для ограниченных множеств.
- Критерий измеримости имеет вид \(\mu (\partial A)=0\).
- Эквивалентный критерий использует риманову интегрируемость характеристической функции \(\chi _{A}\).
- Мера Жордана равна интегралу \(\chi _{A}\) по содержащему брусу.
- В определении объёма нуль требуется конечное покрытие брусами.
- Множество объёма нуль измеримо по Жордану и имеет меру Жордана \(0\).
Измеримость по Жордану
Пусть \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) ограничено. В курсе используется критерий
\(A\) измеримо по Жордану
Если \(I\) является брусом, содержащим \(A\), то это условие эквивалентно римановой интегрируемости характеристической функции
\(\chi _{A}(x)=1\) при \(x\in A, \chi _{A}(x)=0\) при \(x\notin A\).
Мера Жордана определяется формулой
Результат не зависит от выбора достаточно большого содержащего бруса.
Множество объёма нуль
Множество \(E\subset \mathbb{R}^{n}\) имеет объём нуль, если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует конечное семейство брусов \(I_{1},\ldots ,I_{N}\) такое, что
\[E\subset \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}\],
Такое множество автоматически ограничено, измеримо по Жордану и имеет меру Жордана \(0\).
Отличие от лебеговой меры нуль
Для лебеговой меры нуль разрешено не более чем счётное покрытие. Поэтому всякое множество объёма нуль является лебеговым нуль-множеством, но обратное утверждение без дополнительных условий неверно.
Для компактного множества эти два понятия совпадают. Из счётного покрытия нуль-множества можно выбрать конечное подпокрытие и сохранить сколь угодно малую суммарную оценку после стандартного небольшого расширения покрывающих брусов.
Пример простыми словами
Множество \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) имеет лебегову меру нуль, но не измеримо по Жордану. Оно плотно в \([0,1]\), поэтому его граница равна всему \([0,1]\) и имеет положительную меру. Этот пример показывает различие двух понятий малости.
Частые ошибки
- Считать любое ограниченное множество измеримым по Жордану.
- Путать меру множества с мерой его границы в критерии измеримости.
- Разрешать счётное покрытие в определении объёма нуль вместо конечного.
- Считать каждое лебегово нуль-множество измеримым по Жордану.
