Для ограниченной функции \(f:A\to \mathbb{R}\) колебанием на множестве \(E\subset A\) называют \(\omega (f,E)=\sup _{E} f-\inf _{E} f\). Колебание в точке \(x_{0}\in A\) определяется как \(\omega (f,x_{0})=\inf _{\delta \gt 0}\omega (f,B_{\delta }(x_{0})\cap A)\). Критерий Бэра утверждает, что \(f\) непрерывна в \(x_{0}\) тогда и только тогда, когда
Что важно запомнить
- Колебание измеряет весь разброс значений функции в окрестности, а не одно приращение.
- Для точки на границе окрестность пересекают с областью определения \(A\).
- При уменьшении радиуса окрестности колебание не возрастает.
- Непрерывность в \(x_{0}\) эквивалентна нулевому колебанию в этой точке.
- Множество разрывов можно описать как объединение множеств \(\{x:\omega (f,x)\ge \frac{1}{m}\}\) по \(m\in \mathbb{N}\).
Колебание на множестве и в точке
Пусть \(f:A\to \mathbb{R}\) ограничена. Для непустого \(E\subset A\) положим
\[\omega (f,E)=\sup _{E} f-\inf _{E} f\].
Для \(x_{0}\in A\) определим
\[\omega (f,x_{0})=\inf _{\delta \gt 0}\omega (f,B_{\delta }(x_{0})\cap A)\].
Эквивалентно, это предел колебаний на сужающихся окрестностях точки.
Критерий Бэра
Функция \(f\) непрерывна в \(x_{0}\) тогда и только тогда, когда
Если \(f\) непрерывна, то для любого \(\varepsilon \gt 0\) все значения \(f(x)\) в достаточно малой окрестности \(x_{0}\) лежат близко к \(f(x_{0})\). Поэтому их общий разброс становится меньше \(2\varepsilon \) и колебание стремится к нулю.
Обратно, если \(\omega (f,x_{0})=0\), можно выбрать окрестность, в которой разброс значений меньше \(\varepsilon \). Поскольку \(x_{0}\) сам принадлежит этой окрестности, получаем \(|f(x)-f(x_{0})|\lt \varepsilon \) для всех достаточно близких \(x\in A\). Это и есть непрерывность.
Связь с множеством разрывов
Точка является точкой разрыва тогда и только тогда, когда её колебание положительно. Поэтому
\[E(f)=\bigcup_{m=1}^{\infty }\{x\in A:\omega (f,x)\ge \frac{1}{m}\}\].
Эта запись используется при доказательстве критерия Лебега интегрируемости по Риману.
Пример простыми словами
Для функции Дирихле \(f=1\) на рациональных числах и \(f=0\) на иррациональных в любой окрестности любой точки встречаются оба значения. Поэтому \(\omega (f,x)=1\) для каждого \(x\), и функция нигде не непрерывна.
Частые ошибки
- Подменять колебание величиной \(|f(x)-f(x_{0})|\) для одной выбранной точки \(x\).
- Не пересекать окрестность с областью определения \(A\).
- Считать малое колебание в одной фиксированной окрестности достаточным для непрерывности без возможности уменьшать его до любого \(\varepsilon \).
- Путать колебание в точке с производной или модулем непрерывности на всём множестве.
