Пусть \(F:U\subset \mathbb{R}^{m}\to \mathbb{R}^{n}\) является \(C^{r}\)-отображением. Точка \(x\) называется критической, если \(\operatorname{rank} DF(x)\lt n\). Значение \(y=F(x)\), полученное в критической точке, называется критическим значением. Теорема Сарда утверждает, что при \(r\gt \max (0,m-n)\) множество критических значений имеет \(n\)-мерную меру
В курсе Бадерко отдельно рассматриваются случаи \(m\lt n, m=n\) и \(m\gt n\). В частности, при \(m=n\) достаточно \(F\in C^{1}\) и критическое множество задаётся условием
Что важно запомнить
- Критическая точка лежит в области определения, а критическое значение лежит в пространстве значений.
- Критичность определяется недостаточным рангом производной.
- Теорема утверждает нулевую меру множества критических значений, а не обязательно множества критических точек.
- В общем случае требуется гладкость \(r\gt \max (0,m-n)\).
- Регулярные значения составляют множество полной меры и, в частности, плотны.
Критические точки и значения
Пусть \(U\subset \mathbb{R}^{m}\) открыто и \(F:U\to \mathbb{R}^{n}\) дифференцируемо. Точка \(x\in U\) называется критической, если
\[\operatorname{rank} DF(x)\lt n\].
Если \(y=F(x)\) для некоторой критической точки \(x\), то \(y\) называется критическим значением.
Значение \(y\in \mathbb{R}^{n}\) называется регулярным, если для каждого \(x\in F^{-1}(y)\) выполняется \(\operatorname{rank} DF(x)=n\). Если \(F^{-1}(y)\) пусто, это условие выполняется автоматически.
Теорема Сарда
Пусть \(F\) принадлежит \(C^{r}\) и
\[r\gt \max (0,m-n)\].
Тогда множество критических значений \(F\) имеет меру нуль в
Следовательно, множество регулярных значений имеет полную меру в \(\mathbb{R}^{n}\) и является плотным.
Формы, используемые в курсе
В конспекте Бадерко теорема разбирается по соотношению размерностей. Если \(m=n\) и \(F\in C^{1}\), критические точки определяются условием \(\det DF(x)=0\), а их образ имеет меру нуль. Для случая \(m\gt n\) в конспекте используется гладкость \(C^{\infty }\) и условие
Если \(m\lt n\), ранг \(DF\) не превосходит \(m\) и потому меньше \(n\) во всех точках. Все значения образа являются критическими, а соответствующий вариант теоремы даёт нулевую \(n\)-мерную меру
Пример простыми словами
Для \(F(x,y)=(x^{2},y)\) имеем \(\det DF(x,y)=2x\). Критические точки образуют прямую \(x=0\), а критические значения образуют прямую \(\{(0,y)\}\). Эта прямая имеет двумерную меру нуль, что согласуется с теоремой Сарда.
Частые ошибки
- Путать критические точки с критическими значениями.
- Утверждать, что сама совокупность критических точек обязана иметь меру нуль.
- Забывать условие на гладкость отображения.
- Проверять только равенство якобиана нулю в случае разных размерностей, где нужно использовать ранг матрицы производной.
