Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто и \(f:G\to \mathbb{R}\) непрерывна. Её график \(\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n+1}:x\in G, y=f(x)\}\) имеет \((n+1)\)-мерную лебегову меру
Смысл теоремы состоит в том, что график может быть геометрически сложным, но в окружающем пространстве \(\mathbb{R}^{n+1}\) он имеет нулевой \((n+1)\)-мерный объём. Из этого нельзя делать вывод о его длине, площади или хаусдорфовой размерности.
Что важно запомнить
- Мера графика берётся в окружающем пространстве \(\mathbb{R}^{n+1}\).
- На компактной части области непрерывная функция равномерно непрерывна.
- При мелком разбиении основания вертикальное колебание функции становится малым.
- График над каждым малым брусом можно накрыть тонким брусом в \(\mathbb{R}^{n+1}\).
- Нулевая \((n+1)\)-мерная мера не означает нулевую длину или площадь самого графика.
Формулировка
Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто, \(f:G\to \mathbb{R}\) непрерывна и
\[\Gamma =\{(x,y):x\in G, y=f(x)\}\].
Тогда
Идея доказательства
Сначала рассматривают компактный брус \(K\subset G\). На \(K\) функция \(f\) равномерно непрерывна. Поэтому для любого \(\eta \gt 0\) можно выбрать достаточно мелкое разбиение \(K\), чтобы колебание \(f\) на каждом частичном брусе было меньше \(\eta \).
Над каждым частичным брусом \(I_{j}\) график содержится в вертикальном брусе высоты не больше \(\eta \). Его \((n+1)\)-мерный объём не превосходит \(\eta |I_{j}|\). Складывая оценки, получаем общий объём покрытия не больше \(\eta |K|\). Выбирая \(\eta \) достаточно малым, делаем эту величину меньше любого заданного \(\varepsilon \).
Открытое множество \(G\) можно исчерпать счётным семейством компактных частей. График над каждой частью имеет меру нуль, а счётное объединение множеств меры нуль снова имеет меру нуль.
Геометрический смысл
График непрерывной функции одной переменной является кривой в плоскости. Его площадь как двумерного множества равна нулю, хотя длина кривой может быть положительной. Аналогично график функции \(n\) переменных имеет нулевой \((n+1)\)-мерный объём.
Пример простыми словами
График \(y=x^{2}\) на отрезке \([0,1]\) имеет положительную длину, но его двумерная площадь равна нулю. Теорема о мере графика относится именно к площади в окружающей плоскости.
Частые ошибки
- Говорить просто «мера графика равна нулю» без указания размерности окружающего пространства.
- Делать вывод, что длина кривой или площадь поверхности равна нулю.
- Использовать ограниченность функции вместо непрерывности в доказательной схеме через равномерную непрерывность.
- Считать график пустым или конечным из-за нулевой меры.
