Множества меры нуль в R^n и их поведение при C^1-отображениях

Множество \(E\subset \mathbb{R}^{n}\) имеет лебегову меру нуль, если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) его можно покрыть не более чем счётным семейством кубических брусов, сумма объёмов которых меньше \(\varepsilon \).¹ Подмножества и счётные объединения множеств меры нуль снова имеют меру нуль.

Если \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто, \(F:G\to \mathbb{R}^{n}\) принадлежит \(C^{1}\) и \(E\subset G\) имеет меру нуль, то \(F(E)\) также имеет меру нуль.¹

Что важно запомнить

В определении разрешено не более чем счётное покрытие кубическими брусами.
Мера нуль не означает, что множество пусто или счётно.
\(C^{1}\)-отображение одинаковой размерности локально липшицево на компактных частях области.
Локальная липшицевость позволяет контролировать объём образов малых брусов.
Произвольное непрерывное отображение не обязано сохранять множества меры нуль.

Множество меры нуль

Пусть \(E\subset \mathbb{R}^{n}\). Говорят, что \(\mu (E)=0\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует не более чем счётное семейство кубических брусов \(\{I_{k}\}\) такое, что

\[E\subset \bigcup_{k} I_{k}\],

\[\sum _{k}|I_{k}|\lt \varepsilon \].¹

Из определения следуют два базовых свойства. Любое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль. Не более чем счётное объединение множеств меры нуль также имеет меру нуль.

Поведение при \(C^{1}\)-отображении

Пусть \(G\subset \mathbb{R}^{n}\) открыто и \(F:G\to \mathbb{R}^{n}\) принадлежит \(C^{1}(G)\). Если \(E\subset G\) и \(\mu (E)=0\), то

\[\mu (F(E))=0\].¹

Идея доказательства локальна. На каждом компактном брусе \(K\subset G\) производная \(DF\) ограничена. Поэтому \(F\) на \(K\) липшицева с некоторой константой \(L\). Образ малого куба со стороной \(h\) содержится в кубе со стороной порядка \(Lh\), а его \(n\)-мерный объём оценивается величиной порядка \(L^{n} h^{n}\).

Множество \(E\) разбивают по счётному исчерпанию области компактами. На каждом компакте исходное покрытие можно перенести через \(F\) с контролем суммарного объёма. Затем используют счётность объединения.

Условие \(C^{1}\) существенно как удобное достаточное условие локальной липшицевости. Для произвольного непрерывного отображения аналогичное утверждение неверно.

Пример простыми словами

Гиперплоскость \(E=\{x\in \mathbb{R}^{n}:x_{n}=0\}\) имеет \(n\)-мерную меру нуль. Если применить к ней \(C^{1}\)-отображение \(F:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\), то образ \(F(E)\) по теореме также имеет \(n\)-мерную меру нуль.

Частые ошибки

Заменять счётное покрытие только конечным. Это уже более сильное условие, связанное с объёмом нуль.
Считать, что множество меры нуль обязательно счётно.
Применять теорему без контроля размерностей области и образа.
Считать сохранение меры нуль свойством любого непрерывного отображения.

Другие вопросы

Источники

1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, IV семестр Механико-математический факультет МГУ. Гл. 1, §2, п. 2.1: множества меры нуль и теорема 1.4 об инвариантности меры нуль при C^1-отображениях.