Для ограниченной функции \(f\) на брусе \(I\) основные критерии интегрируемости по Риману эквивалентны. По критерию Дарбу \(f\) интегрируема тогда и только тогда, когда верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Эквивалентно, для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует разбиение \(P\) с
По критерию Лебега ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру
Что важно запомнить
- Все перечисленные критерии формулируются для ограниченной функции.
- Разность \(S(f,P)-s(f,P)\) равна сумме колебаний функции на частичных брусах, умноженных на их объёмы.
- Критерий Дарбу требует возможности сделать эту разность сколь угодно малой.
- Критерий Лебега характеризует интегрируемость через множество точек разрыва.
- Непрерывная функция на брусе автоматически интегрируема, поскольку множество её разрывов пусто.
Критерий Дарбу
Пусть \(f\) ограничена на брусе \(I\). Для разбиения \(P\) обозначим через \(S(f,P)\) верхнюю, а через \(s(f,P)\) нижнюю сумму Дарбу. Верхний интеграл является инфимумом верхних сумм, а нижний интеграл является супремумом нижних сумм.
Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда эти два числа совпадают. Эквивалентная \(\varepsilon \)-формулировка имеет вид
Критерий по колебаниям
Если \(\omega _{j}=\sup _{I_{j}}f-\inf _{I_{j}}f\), то
\[S(f,P)-s(f,P)=\sum _{j}\omega _{j}|I_{j}|\].
Поэтому интегрируемость равносильна возможности сделать суммарное взвешенное колебание сколь угодно малым. В предельной форме курса это записывается как стремление данной суммы к нулю при
Критерий Лебега
Пусть
\[E(f)=\{x\in I: f\text{ не непрерывна в }x\}\].
Тогда для ограниченной \(f\) выполняется
Отдельные и даже плотные разрывы меры нуль могут не мешать интегрируемости. Если же множество разрывов имеет положительную меру, ограниченная функция не интегрируема по Риману.
Пример простыми словами
Функция \(f=1\) на \(\mathbb{Q}^{n}\cap I\) и \(f=0\) во всех остальных точках бруса ограничена, но разрывна в каждой точке. Поэтому множество разрывов совпадает со всем \(I\) и критерий Лебега показывает, что \(f\) не интегрируема по Риману.
Частые ошибки
- Считать ограниченность достаточным условием интегрируемости.
- Проверять малость \(S-s\) только для одного заранее выбранного разбиения.
- Путать множество точек разрыва с множеством точек, где \(f\) не равна нулю.
- Заменять условие меры нуль требованием конечности множества разрывов.
