Кратный интеграл Курцвейля—Хенстока на брусе \(I\subset \mathbb{R}^{n}\) строится по размеченным разбиениям и функции масштаба \(\delta (x)\gt 0\). Разбиение \(\{(\xi _{j},I_{j})\}\) называется \(\delta \)-мелким, если \(\xi _{j}\in I_{j}\) и каждый \(I_{j}\) содержится в координатной \(\delta (\xi _{j})\)-окрестности своей метки. Функция \(f\) интегрируема с интегралом \(A\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует один масштаб \(\delta \), при котором любая \(\delta \)-мелкая сумма \(\sum f(\xi _{j})|I_{j}|\) отличается от \(A\) не более чем на
Что важно запомнить
- Масштаб \(\delta \) зависит от точки бруса.
- Метка \(\xi _{j}\) должна принадлежать своему частичному брусу \(I_{j}\).
- \(\delta \)-мелкость связывает размер \(I_{j}\) именно со значением \(\delta \) в его метке.
- Для заданного \(\varepsilon \) выбирается один масштаб, который подходит для всех \(\delta \)-мелких размеченных разбиений.
- Кратный интеграл Курцвейля—Хенстока расширяет риманову схему, потому что допускает неравномерное локальное измельчение.
Функция масштаба
Пусть \(I\subset \mathbb{R}^{n}\) является брусом. Масштабом называют произвольную функцию
\[\delta :I\to (0,\infty )\].
Размеченное разбиение \(I\) состоит из конечного набора пар \((\xi _{j},I_{j})\). Частичные брусы \(I_{j}\) покрывают \(I\) без перекрытия внутренних частей, а метка \(\xi _{j}\) принадлежит \(I_{j}\).
Удобно использовать норму \(\lVert x\rVert _{\infty} =\max _{i}|x_{i}|\). Разбиение называют \(\delta \)-мелким, если
\[I_{j}\subset \{x:\lVert x-\xi _{j}\rVert _{\infty} \le \delta (\xi _{j})\}\]
для каждого
Определение интеграла
Интегральная сумма имеет обычный вид
\[S(f,\Pi )=\sum _{j} f(\xi _{j})|I_{j}|\].
Функция \(f\) интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку на \(I\), если существует число \(A\) такое, что для каждого \(\varepsilon \gt 0\) можно выбрать масштаб \(\delta \), удовлетворяющий условию
\[|S(f,\Pi )-A|\le \varepsilon \]
для всякого \(\delta \)-мелкого размеченного разбиения \(\Pi \). Число \(A\) является кратным интегралом
Связь с интегралом Римана
В римановой схеме мелкость контролируется одним глобальным числом. Здесь локальный допустимый размер зависит от точки. Поэтому около сложных участков можно потребовать очень мелкие брусы, а в спокойных областях оставить более крупные. Всякая риманово интегрируемая функция является интегрируемой по Курцвейлю—Хенстоку с тем же значением
Пример простыми словами
Если функция ведёт себя особенно сложно около точки \(x_{0}\), можно выбрать \(\delta (x)\) очень малой рядом с \(x_{0}\) и значительно большей вдали от неё. Это иллюстрирует главное отличие метода от равномерного требования \(d(P)\lt \delta \) в интеграле Римана.
Частые ошибки
- Заменять функцию \(\delta (x)\) одной постоянной и тем самым терять основную идею определения.
- Разрешать метке лежать вне соответствующего частичного бруса.
- Выбирать новый масштаб отдельно для каждого разбиения.
- Путать \(\delta \)-мелкость с условием только на объём бруса без контроля его расположения относительно метки.
