Брус в \(\mathbb{R}^{n}\) имеет вид \(I=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]\), а его объём равен \(|I|=\prod (b_{i}-a_{i})\). Разбиение делит \(I\) на конечное число частичных брусов \(I_{j}\). После выбора метки \(\xi _{j}\in I_{j}\) образуется интегральная сумма \(\sigma (f,P,\xi )=\sum f(\xi _{j})|I_{j}|\). Функция интегрируема по Риману, если эти суммы имеют один и тот же предел при стремлении диаметра разбиения к нулю независимо от выбора
Необходимое условие интегрируемости состоит в ограниченности \(f\) на
Что важно запомнить
- Интегральная сумма содержит значение функции в метке и объём соответствующего частичного бруса.
- Предел должен быть общим для всех достаточно мелких размеченных разбиений.
- Для ограниченной \(f\) нижняя сумма Дарбу равна \(\sum m_{j}|I_{j}|\), а верхняя равна \(\sum M_{j}|I_{j}|\).
- Всегда выполняется \(s(f,P)\le \sigma (f,P,\xi )\le S(f,P)\).
- Риманова интегрируемость влечёт ограниченность, но одной ограниченности недостаточно.
Брус и интегральная сумма
Пусть
\[I=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb{R}^{n}\].
Его объём равен \(|I|=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\). Разбиения координатных отрезков порождают конечное разбиение \(I\) на частичные брусы \(I_{j}\). В каждом \(I_{j}\) выбирают произвольную точку \(\xi _{j}\). Пара из разбиения и набора меток называется размеченным разбиением.
Интегральная сумма имеет вид
\[\sigma (f,P,\xi )=\sum _{j} f(\xi _{j})|I_{j}|\].
Число \(J\) называется интегралом Римана функции \(f\) на \(I\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся \(\delta \gt 0\) такое, что
\[|\sigma (f,P,\xi )-J|\lt \varepsilon \]
для любого размеченного разбиения с диаметром
Суммы Дарбу
Если \(f\) ограничена, для каждого частичного бруса положим
\[m_{j}=\inf _{I_{j}}f, M_{j}=\sup _{I_{j}}f\].
Нижняя и верхняя суммы Дарбу определяются формулами
\[s(f,P)=\sum _{j} m_{j}|I_{j}|\],
\[S(f,P)=\sum _{j} M_{j}|I_{j}|\].
Для любой системы меток выполняется \(s(f,P)\le \sigma (f,P,\xi )\le S(f,P)\). При измельчении разбиения нижние суммы дают приближение снизу, а верхние суммы дают приближение сверху.
Необходимое условие
Если \(f\) интегрируема по Риману на брусе, то \(f\) ограничена на этом
Обратное утверждение неверно. Ограниченная функция может иметь слишком много точек разрыва и не быть интегрируемой по Риману.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=x+y\) на квадрате \([0,1]^{2}\) имеем \(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y)dxdy=1\). Интегральные суммы приближают этот объём независимо от того, какие метки выбраны внутри достаточно мелких прямоугольников.
Частые ошибки
- Забывать множитель \(|I_{j}|\) в интегральной сумме.
- Считать число частичных брусов мерой мелкости разбиения вместо его диаметра.
- Требовать специального выбора меток, хотя предел должен быть независим от них.
- Считать ограниченность достаточным условием интегрируемости.
