Положим \(S_{R}(x)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi }})\int _{-R}^{R}\widehat{f}(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda \). Это усечённый обратный интеграл Фурье. Его среднее Чезаро определяется формулой \(\sigma _{R}(x)=(\frac{1}{R})\int _{0}^{R} S_{r}(x)dr\). После перестановки интегралов появляется треугольный множитель \(1-\frac{|\lambda |}{R}\) и положительное интегральное ядро Фейера
\[K_{R}(t)=\frac{2\sin ^{2}(\frac{Rt}{2})}{(\pi Rt^{2})}\].
Тогда
Что важно запомнить
- Параметр \(R\) непрерывен и стремится к бесконечности.
- \(K_{R}(t)\ge 0\) и \(\int _{-\infty }^{\infty }K_{R}(t)dt=1\).
- Для каждого \(\delta \gt 0\) масса \(K_{R}\) вне \(|t|\lt \delta \) стремится к нулю.
- В частотной области среднее Чезаро умножает \(\widehat{f}(\lambda )\) на \(1-\frac{|\lambda |}{R}\) при \(|\lambda |\le R\) и на \(0\) вне этого отрезка.
- Интегральное ядро Фейера на прямой отличается от периодического ядра Фейера для рядов Фурье.
Среднее интегральное Чезаро
При симметричной нормировке преобразования Фурье рассмотрим усечённое обращение
\[S_{R}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int _{-R}^{R}\widehat{f}(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda \].
Средним Чезаро порядка \(R\) называют
\[\sigma _{R}(x)=\frac{1}{R} \int _{0}^{R} S_{r}(x)dr\].
Усреднение сглаживает резкое отсечение частот. После изменения порядка интегрирования получаем
Интегральное ядро Фейера
Подстановка формулы для \(\widehat{f}\) приводит к свёртке
\[\sigma _{R}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x-t)K_{R}(t)dt\],
где
\[K_{R}(t)=\frac{2\sin ^{2}(\frac{Rt}{2})}{(\pi Rt^{2})}\]
при \(t\ne 0\) и
Ядро неотрицательно, имеет полную массу \(1\) и концентрируется около нуля при \(R\to \infty \). Поэтому семейство \(K_{R}\) является аппроксимативной
Сходимость
Если \(f\in L^{1}(\mathbb{R})\), то \(\sigma _{R}\to f\) в норме В каждой точке Лебега средние также сходятся к \(f(x)\). В частности, это верно в точках
Механизм сходимости тот же, что у положительных аппроксимативных единиц. Основная масса ядра собирается около \(t=0\), а вклад удалённых \(t\) исчезает.
Пример простыми словами
Пусть \(f\) является индикатором отрезка \([-1,0]\). В точке \(0\) односторонние значения равны \(1\) и \(0\). Здесь \(\sigma _{R}(0)=\int _{0}^{1} K_{R}(t)dt\). Ядро \(K_{R}\) чётно, его полная масса равна \(1\), а масса вне любой окрестности нуля стремится к нулю. Поэтому
Частые ошибки
- Использовать формулу периодического ядра Фейера вместо интегрального ядра на \(\mathbb{R}\).
- Заменять среднее по \(0\le r\le R\) одной усечённой суммой \(S_{R}\).
- Терять множитель \(1-\frac{|\lambda |}{R}\) в частотной области.
- Считать, что обычный усечённый интеграл и его среднее Чезаро имеют одинаковые свойства сходимости.
