Преобразование Фурье, обратное преобразование и интеграл Фурье

В симметричной нормировке преобразование Фурье функции \(f\) задаётся формулой \(\widehat{f}(\lambda )=(\frac{1}{\sqrt{2\pi }})\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\lambda x}dx\). Для функций класса Шварца обратное преобразование имеет вид \(f(x)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi }})\int _{-\infty }^{\infty }\widehat{f}(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda \).¹

Интеграл Фурье является непрерывным аналогом ряда Фурье. Для подходящей функции он представляет \(f\) как суперпозицию гармоник всех вещественных частот. В вещественной форме используются коэффициенты \(A(\lambda )\) и \(B(\lambda )\), получаемые интегрированием \(f\) против \(\cos (\lambda x)\) и \(\sin (\lambda x)\).²

Что важно запомнить

Нормировку преобразования и обратного преобразования нужно фиксировать заранее.
Для класса Шварца преобразование Фурье и обратное преобразование определены без дополнительных оговорок.
Сдвиг функции в пространстве превращается в фазовый множитель в частотной области.
При достаточной гладкости и убывании дифференцирование функции соответствует умножению её преобразования на \(i\lambda \).
Формула обращения для произвольной интегрируемой функции требует дополнительных условий.

Преобразование Фурье

Зафиксируем симметричную нормировку

\[\widehat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int _{-\infty }^{\infty } f(x)e^{-i\lambda x}dx\].

Для \(f\) из пространства Шварца интеграл существует для каждого \(\lambda \), функция \(\widehat{f}\) снова принадлежит пространству Шварца, а обратное преобразование имеет вид

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int _{-\infty }^{\infty } \widehat{f}(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda \].¹

Для более широких классов функций эти формулы сохраняются в соответствующем смысле, но условия обращения нужно формулировать отдельно. Например, для интегрируемой функции её преобразование ограничено, равномерно непрерывно и стремится к нулю при \(|\lambda |\to \infty \).²

Интеграл Фурье

Вещественную форму представления удобно записать как

\[f(x)=\int _{0}^{\infty }[A(\lambda )\cos (\lambda x)+B(\lambda )\sin (\lambda x)]d\lambda \],

где

\[A(\lambda )=\frac{1}{\pi} \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos (\lambda t)dt\],

\[B(\lambda )=\frac{1}{\pi} \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin (\lambda t)dt\].

Такое представление справедливо при условиях, обеспечивающих формулу обращения. В частности, оно верно для гладкой функции с компактным носителем.²

Основные свойства

Преобразование Фурье линейно. Если \(g(x)=f(x-a)\), то \(\widehat{g}(\lambda )=e^{-ia\lambda }\widehat{f}(\lambda )\). Если \(g(x)=e^{iax}f(x)\), то \(\widehat{g}(\lambda )=\widehat{f}(\lambda -a)\). При достаточной гладкости и убывании имеем

\[F[f'](\lambda )=i\lambda \widehat{f}(\lambda )\].¹

Эти формулы показывают главную идею преобразования. Операции со сдвигами и производными в пространстве функций превращаются в простые операции над спектром.

Пример простыми словами

Для \(f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\) симметрично нормированное преобразование Фурье снова равно \(e^{-\frac{\lambda ^{2}}{2}}\). Гауссова функция является удобным примером того, как форма функции сохраняется при переходе из пространственной области в частотную.

Частые ошибки

Смешивать разные нормировки преобразования Фурье в одном ответе.
Считать, что формула обращения поточечно верна для любой интегрируемой функции без дополнительных условий.
Путать преобразование Фурье на всей прямой с рядом Фурье периодической функции.
Терять знак минус в экспоненте прямого преобразования.

Другие вопросы

Источники

1 Encyclopedia of Mathematics. Fourier transform Симметричная нормировка преобразования Фурье и формула обратного преобразования. Пространство Шварца, линейность и правило преобразования производной при соответствующих условиях.
2 Encyclopedia of Mathematics. Fourier integral Вещественная и комплексная формы интеграла Фурье, коэффициенты A(λ), B(λ), условия формулы обращения, а также свойства преобразования L¹-функции: ограниченность, равномерная непрерывность и стремление к нулю на бесконечности.