Среднее Абеля—Пуассона ряда Фурье получают умножением гармоник порядка \(n\) на \(r^{n}\), где \(0\le r\lt 1\). Для вещественного ряда \(A_{r} f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}[a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx]\). Оно представляется свёрткой с ядром Пуассона Если \(f\) интегрируема на периоде и непрерывна в \(x\), то \(A_{r} f(x)\to f(x)\) при \(r\to 1-\). Для непрерывной периодической \(f\) сходимость
Что важно запомнить
- Параметр средних Абеля удовлетворяет условию \(0\le r\lt 1\).
- \(P_{r}(t)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }r^{n} \cos (nt)\).
- \(P_{r}(t)\gt 0\) и \((\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(t)dt=1\).
- При \(r\to 1-\) масса нормированного ядра концентрируется около \(t=0\).
- Среднее Абеля является свёрткой \(f\) с ядром Пуассона и одновременно гармоническим продолжением граничных данных внутрь единичного круга.
Средние Абеля—Пуассона
Пусть \(f\) имеет тригонометрический ряд Фурье
\[\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx)]\].
Для \(0\le r\lt 1\) определим его среднее Абеля
\[A_{r} f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}[a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx)]\].
Коэффициенты Фурье интегрируемой функции ограничены. Поэтому при каждом фиксированном \(r\lt 1\) множитель \(r^{n}\) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость этого ряда.
Ядро Пуассона
Используя сумму геометрического ряда, получают
\[P_{r}(t)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }r^{n} \cos (nt)=\frac{(1-r^{2})}{(1-2r \cos t+r^{2})}\].
Тогда
Для \(0\le r\lt 1\) ядро положительно, его полная масса равна \(2\pi \), а при \(r\to 1-\) нормированная масса концентрируется около нуля. Поэтому \(\frac{P_{r}}{(2\pi )}\) является периодической аппроксимативной единицей.
Теорема Пуассона
Если \(f\) интегрируема на периоде и непрерывна в точке \(x\), то
\[A_{r} f(x)\to f(x), r\to 1-\].
Если \(f\) непрерывна и \(2\pi \)-периодична, сходимость равномерна по
Функция \(A_{r} f\) является гармонической внутри единичного круга и задаёт гармоническое продолжение граничных
Пример простыми словами
Для \(f(x)=\cos (mx)\) имеется только одна ненулевая гармоника порядка \(m\). Поэтому \(A_{r} f(x)=r^{m} \cos (mx)\), и при \(r\to 1-\) эта функция равномерно стремится к \(\cos (mx)\).
Частые ошибки
- Подставлять \(r=1\) до предельного перехода и тем самым терять регуляризующее действие метода Абеля.
- Путать непрерывный параметр \(r\) со средним по конечному числу частичных сумм, как в методе Фейера.
- Терять нормировку \(\frac{1}{(2\pi )}\) в интегральном представлении.
- Использовать формулу ядра Пуассона с неправильным знаком перед \(2r \cos t\).
