Средним Фейера порядка \(n\) называют среднее арифметическое \(S_{0},\ldots ,S_{n}\). Оно равно \(\sigma _{n}=\frac{(S_{0}+\ldots +S_{n})}{(n+1)}\) и представляется свёрткой с ядром Фейера \(K_{n}(t)=(\frac{1}{(n+1)})[\frac{\sin (\frac{(n+1)t}{2})}{\sin (\frac{t}{2})}]^{2}\). Ядро неотрицательно, имеет массу \(2\pi \) и концентрируется около нуля. Если \(f\) интегрируема и непрерывна в точке \(x\), то \(\sigma _{n}(x)\to f(x)\). Для непрерывной \(2\pi \)-периодической \(f\) сходимость
Что важно запомнить
- \(K_{n}(t)=(\frac{1}{(n+1)})\sum _{k=0}^{n} D_{k}(t)\).
- \(K_{n}(t)\ge 0\).
- \((\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }K_{n}(t)dt=1\).
- Масса \(K_{n}\) вне любой фиксированной окрестности нуля стремится к нулю.
- Теорема Фейера относится к средним частичных сумм и не требует сходимости самих \(S_{n}\).
Средние Чезаро—Фейера
Пусть \(S_{n}(x)\) — частичная сумма ряда Фурье. Средним Фейера называется
\[\sigma _{n}(x)=\frac{1}{(n+1)}\sum _{k=0}^{n} S_{k}(x)\].
Так как \(S_{k}\) является свёрткой с ядром Дирихле \(D_{k}\), среднее \(\sigma _{n}\) также является свёрткой
\[\sigma _{n}(x)=(\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)K_{n}(t)dt\],
где
\[K_{n}(t)=\frac{1}{(n+1)}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(t)=\frac{1}{(n+1)}[\frac{\sin (\frac{(n+1)t}{2})}{\sin (\frac{t}{2})}]^{2}\].
Почему ядро Фейера лучше ядра Дирихле
Ядро \(K_{n}\) неотрицательно и имеет полную массу \(2\pi \). Для каждого \(\delta \gt 0\) его масса на \(\delta \le |t|\le \pi \) стремится к нулю. Поэтому \(\frac{K_{n}}{(2\pi )}\) образует периодическую аппроксимативную единицу.
Из этого сразу следует теорема Фейера. Если \(f\) интегрируема и непрерывна в точке \(x\), то
Если \(f\) непрерывна на всей окружности, её равномерная непрерывность позволяет провести оценку одновременно для всех \(x\). Поэтому \(\sigma _{n}\to f\) равномерно.
Сходимость средних Фейера возможна и тогда, когда обычные частичные суммы ведут себя существенно хуже. Это одна из причин введения метода Чезаро.
Пример простыми словами
Если \(f(x)=\cos (mx)\), то при \(n\ge m\) среднее Фейера равно \((1-\frac{m}{(n+1)})\cos (mx)\). Коэффициент стремится к \(1\), поэтому \(\sigma _{n}(x)\to \cos (mx)\) равномерно.
Частые ошибки
- Путать \(\sigma _{n}\) с самой частичной суммой \(S_{n}\).
- Забывать деление на \(n+1\) в определении среднего и ядра.
- Терять множитель \(\frac{1}{(2\pi )}\) в свёртке.
- Считать положительным ядро Дирихле вместо ядра Фейера.
