Для \(2\pi \)-периодической кусочно непрерывной функции \(f\) тригонометрический ряд Фурье имеет вид \(\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n} \cos nx+b_{n} \sin nx)\). Если в точке \(x\) существуют односторонние пределы \(f(x-0), f(x+0)\) и выполнено условие Дини с обеих сторон, то ряд сходится к \(\frac{[f(x-0)+f(x+0)]}{2}\). В точке непрерывности предел равен
Что важно запомнить
- \(a_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos (nt)dt\) и \(b_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin (nt)dt\).
- В условии Дини контролируется отношение приращения функции к расстоянию до точки.
- Условие Гёльдера с положительным показателем автоматически влечёт условие Дини.
- В точке скачка сумма ряда при условиях теоремы равна полусумме односторонних пределов.
- Непрерывность сама по себе не является общим достаточным условием поточечной сходимости ряда Фурье.
Тригонометрический ряд Фурье
Пусть \(f\) интегрируема на \([-\pi ,\pi ]\) и продолжена \(2\pi \)-периодически. Её коэффициенты Фурье равны
\[a_{0}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(t)dt\],
\[a_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos (nt)dt, b_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin (nt)dt\].
Соответствующий ряд имеет вид
\[\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx)]\].
Условие Дини
Пусть \(f\) кусочно непрерывна и в точке \(x\) существуют односторонние пределы \(f(x+0)\) и \(f(x-0)\). Условие Дини требует, чтобы для некоторых \(\varepsilon _{+},\varepsilon _{-}\gt 0\) сходились интегралы
\[\int _{0}^{\varepsilon _{+}}\frac{|f(x+t)-f(x+0)|}{t} dt\],
\[\int _{0}^{\varepsilon _{-}}\frac{|f(x-t)-f(x-0)|}{t} dt\].
Тогда частичные суммы ряда Фурье сходятся в точке \(x\) и
Если \(f\) непрерывна в \(x\), оба односторонних предела равны \(f(x)\), поэтому сумма ряда равна \(f(x)\).
Условие Гёльдера \(|f(x+t)-f(x)|\le C|t|^{\alpha }\) с \(\alpha \gt 0\) сильнее условия Дини. Действительно, после деления на \(|t|\) возникает интегрируемая степень \(|t|^{\alpha -1}\).
Пример простыми словами
Для функции со скачком в точке \(x_{0}\) ряд Фурье при выполнении условий Дини не выбирает ни левое, ни правое значение. Его сумма в \(x_{0}\) равна среднему арифметическому односторонних пределов.
Частые ошибки
- Считать непрерывность функции достаточной для сходимости её ряда Фурье в каждой точке без дополнительных условий.
- В точке скачка ожидать сходимость к одному из односторонних пределов.
- Путать условие Дини для ряда Фурье с признаком Дини равномерной сходимости монотонной последовательности функций.
