Для \(2\pi \)-периодической интегрируемой функции \(f\) частичная сумма комплексного ряда Фурье записывается как \(S_{n}(x)=(\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)dt\), где \(D_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n} e^{ikt}=\frac{\sin ((n+\frac{1}{2})t)}{\sin (\frac{t}{2})}\). Принцип локализации Римана говорит, что сходимость ряда Фурье в точке определяется поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой
Что важно запомнить
- \(D_{n}(0)=2n+1\) и \((\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt=1\).
- Ядро Дирихле меняет знак и не является положительной аппроксимативной единицей.
- Частичная сумма является свёрткой \(f\) с ядром Дирихле с нормировкой \(\frac{1}{(2\pi )}\).
- Если две функции совпадают около \(x_{0}\), разность их частичных сумм в \(x_{0}\) стремится к нулю.
- Поэтому локальное изменение функции определяет локальное поведение её ряда Фурье.
Частичные суммы и ядро Дирихле
Пусть
\[c_{k}=(\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt\]
и \(S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n} c_{k}e^{ikx}\). Подставляя формулу для \(c_{k}\) и переставляя конечную сумму с интегралом, получаем
\[S_{n}(x)=(\frac{1}{(2\pi)})\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)dt\].
Здесь
\[D_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n} e^{ikt}=\frac{\sin ((n+\frac{1}{2})t)}{\sin (\frac{t}{2})}\]
при \(t\), не кратном \(2\pi \), а \(D_{n}(0)=2n+1\). При этой нормировке \(\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt=2\pi \), поэтому перед интегралом стоит множитель
Ядро Дирихле меняет знак. Поэтому оно не является положительной аппроксимативной единицей, и обычные частичные суммы ведут себя хуже средних Фейера.
Принцип локализации Римана
Пусть две \(2\pi \)-периодические интегрируемые функции \(f\) и \(g\) совпадают в некоторой окрестности точки \(x_{0}\). Тогда \(h=f-g\) тождественно равна нулю около \(x_{0}\).
В формуле для \(S_{n}(h,x_{0})\) остаётся интеграл по значениям \(t\), отделённым от нуля. Там \(\frac{1}{\sin (\frac{t}{2})}\) является обычным интегрируемым множителем, а \(\sin ((n+\frac{1}{2})t)\) имеет растущую частоту. Лемма Римана—Лебега даёт \(S_{n}(h,x_{0})\to 0\).
Следовательно, ряды Фурье \(f\) и \(g\) в точке \(x_{0}\) сходятся или расходятся одновременно. Если они сходятся, их суммы
Пример простыми словами
Если изменить \(2\pi \)-периодическую функцию только далеко от точки \(x_{0}\), не трогая некоторую окрестность \(x_{0}\), это не меняет факт сходимости её ряда Фурье в \(x_{0}\) и не меняет предел при наличии сходимости.
Частые ошибки
- Терять множитель \(\frac{1}{(2\pi )}\) при интегральной записи частичной суммы.
- Считать ядро Дирихле неотрицательным.
- Интерпретировать принцип локализации как утверждение, что коэффициенты Фурье зависят только от окрестности \(x_{0}\). Коэффициенты глобальны, локальным является предельное поведение частичных сумм в точке.
