Для интегрируемой по Риману функции \(f\) на \([a,b]\) высокочастотные осциллирующие интегралы исчезают: \(\int _{a}^{b} f(x)\cos (\lambda x)dx\to 0\) и \(\int _{a}^{b} f(x)\sin (\lambda x)dx\to 0\) при \(\lambda \to \infty \). Отсюда коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к
Что важно запомнить
- Высокая частота приводит к взаимной компенсации положительных и отрицательных осцилляций.
- Результат верен для интегрируемых по Риману функций на конечном отрезке и имеет стандартное продолжение на \(L^{1}\).
- Для \(2\pi \)-периодической \(f\) коэффициенты \(a_{n}\) и \(b_{n}\) стремятся к нулю.
- Условие \(c_{n}\to 0\) необходимо для ряда Фурье, но само по себе не гарантирует сходимость ряда к функции.
Осциллирующие интегралы
Пусть \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\). Тогда
\[\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b} f(x)\cos (\lambda x)dx=0\],
Обе формулы можно объединить в комплексную запись \(\int _{a}^{b} f(x)e^{i\lambda x}dx\to 0\).
Почему это верно
Сначала утверждение легко проверяется для ступенчатой функции. Интеграл каждой константы по отрезку после умножения на \(\sin (\lambda x)\) или \(\cos (\lambda x)\) имеет величину порядка \(\frac{1}{\lambda} \).
Произвольную интегрируемую функцию приближают ступенчатой так, чтобы интеграл модуля ошибки был мал. Осциллирующий множитель имеет модуль не больше \(1\), поэтому ошибка в интеграле также мала. После этого \(\lambda \) выбирают достаточно большим для ступенчатой части.
Следствие для ряда Фурье
Если \(f\) интегрируема на \([-\pi ,\pi ]\), то её коэффициенты
\[a_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx, b_{n}=(\frac{1}{\pi} )\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx\]
удовлетворяют \(a_{n}\to 0\) и \(b_{n}\to 0\). Это и есть одно из основных следствий теоремы
Пример простыми словами
Для \(f(x)=1\) на \([0,1]\) имеем \(\int _{0}^{1} \cos (\lambda x)dx=\frac{\sin \lambda}{\lambda} \). Эта величина стремится к нулю при \(\lambda \to \infty \) и наглядно показывает механизм осцилляционного взаимного уничтожения.
Частые ошибки
- Делать обратный вывод: из \(a_{n},b_{n}\to 0\) заключать, что ряд Фурье обязательно сходится к \(f\).
- Требовать гладкость функции, хотя для теоремы достаточно интегрируемости.
- Забывать, что речь идёт о пределе при росте частоты \(\lambda \) или номера \(n\).
