\(\delta \)-образной последовательностью называют семейство интегрируемых функций \(\omega _{n}\), у которого \(\omega _{n}\ge 0, \int_{\mathbb{R}}\omega _{n}=1\) и для каждого \(\delta \gt 0\) выполняется \(\int _{|x|\gt \delta }\omega _{n}(x)dx\to 0\). Масса таких функций концентрируется около нуля. Если \(f\) непрерывна и ограничена, то \(f\ast \omega _{n}\to f\) равномерно на каждом компактном
Что важно запомнить
- Нормировка \(\int \omega _{n}=1\) сохраняет постоянные функции.
- Неотрицательность исключает взаимное уничтожение больших положительных и отрицательных частей ядра.
- Масса вне любой фиксированной окрестности нуля должна стремиться к нулю.
- Свёртка с \(\delta \)-образной последовательностью приближает непрерывную функцию.
- Дельта Дирака является предельным образом, а не обычной функцией \(\omega _{n}\).
Определение
Последовательность интегрируемых функций \(\{\omega _{n}\}\) на \(\mathbb{R}\) называется \(\delta \)-образной, если выполнены три условия:
- \(\omega _{n}(x)\ge 0\).
- \(\int _{-\infty }^{\infty }\omega _{n}(x)dx=1\).
- Для каждого \(\delta \gt 0\) имеем \(\int _{|x|\gt \delta }\omega _{n}(x)dx\to 0\).
Последнее условие означает концентрацию единичной массы около точки
Приближение функции свёрткой
Пусть \(f\) непрерывна и ограничена на \(\mathbb{R}\). Тогда
\[(f\ast \omega _{n})(x)-f(x)=\int [f(x-t)-f(x)]\omega _{n}(t)dt\].
На фиксированном компактном отрезке выберем \(\delta \) так, чтобы при \(|t|\lt \delta \) разность \(|f(x-t)-f(x)|\) была мала равномерно по \(x\) из этого компакта. Интеграл по \(|t|\lt \delta \) становится малым благодаря единичной массе ядра. На множестве \(|t|\ge \delta \) разность ограничена, а масса \(\omega _{n}\) там стремится к нулю.
Следовательно, \(f\ast \omega _{n}\to f\) равномерно на каждом
Если \(f\) равномерно непрерывна на всей \(\mathbb{R}\), тот же аргумент даёт равномерное приближение на всей прямой.
Пример простыми словами
Простейший пример: \(\omega _{n}(x)=n\) при \(|x|\le \frac{1}{(2n)}\) и \(\omega _{n}(x)=0\) вне этого отрезка. Площадь под графиком равна \(1\), а весь носитель сжимается к нулю.
Частые ошибки
- Требовать только поточечное стремление \(\omega _{n}(x)\) к нулю при \(x\ne 0\). Этого недостаточно.
- Забывать нормировку полной массы к \(1\).
- Считать \(\delta \)-функцию обычной функцией и писать \(\omega _{n}\to \delta \) как обычную поточечную сходимость.
- Не проверять концентрацию массы около нуля.
