Свёрткой функций \(f\) и \(g\) на \(\mathbb{R}\) называется функция \((f\ast g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)dt\) в тех точках \(x\), где интеграл существует. В курсе предполагается, что \(f\) и \(g\) интегрируемы по Риману на каждом конечном отрезке. Для существования свёртки достаточно, например, абсолютной интегрируемости одного множителя и ограниченности другого, квадратичной интегрируемости обоих множителей или компактного носителя одной из Свёртка линейна и коммутативна. Для функций из \(L^{1}(\mathbb{R})\) она также Если \(f\) непрерывна, а \(g\) финитна и принадлежит \(C^{k}\), то
Что важно запомнить
- В определении используется сдвиг \(g(x-t)\).
- В условиях курса \(f\) и \(g\) интегрируемы по Риману на каждом конечном отрезке.
- Одно достаточное условие существования состоит в абсолютной интегрируемости \(f\) и ограниченности \(g\).
- Если \(f^{2}\) и \(g^{2}\) интегрируемы на \(\mathbb{R}\), свёртка существует для каждого \(x\) по неравенству Коши—Буняковского.
- Если \(f\) непрерывна, а \(g\) финитна и принадлежит \(C^{k}\), то
Определение и существование
Пусть \(f\) и \(g\) определены на \(\mathbb{R}\) и интегрируемы по Риману на каждом конечном отрезке. Их свёртка определяется формулой
\[(f\ast g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)dt\]
в тех точках \(x\), где этот несобственный интеграл существует.
В курсе используются три удобных достаточных условия. Свёртка существует, если \(f\) абсолютно интегрируема на \(\mathbb{R}\), а \(g\) ограничена. Она также существует, если \(f^{2}\) и \(g^{2}\) интегрируемы на \(\mathbb{R}\). Ещё один достаточный случай возникает, когда хотя бы одна функция имеет компактный
Основные свойства
Линейность следует из линейности интеграла. Замена \(u=x-t\) даёт коммутативность
Если \(f,g,h\in L^{1}(\mathbb{R})\), то свёртка ассоциативна
Важное свойство связано со сглаживанием. Если \(f\) непрерывна, а \(g\) имеет компактный носитель и \(k\) непрерывных производных, то \(f\ast g\) принадлежит \(C^{k}\) и
Именно перенос производных на гладкий финитный множитель делает свёртку одним из основных инструментов сглаживания функций.
Пример простыми словами
Пусть \(f=g=1_{[0,1]}\). Тогда \((f\ast g)(x)\) равно длине пересечения \([0,1]\) и \([x-1,x]\). Получается треугольная функция: \(x\) при \(0\le x\le 1, 2-x\) при \(1\le x\le 2\) и \(0\) вне \([0,2]\).
Частые ошибки
- Путать свёртку \(f\ast g\) с поточечным произведением \(fg\).
- Использовать свойства свёртки без проверки существования нужных интегралов.
- Терять сдвиг \(x-t\) в определении.
- Переносить производную под интеграл без достаточных условий.
