Теорема Вейерштрасса о приближении тригонометрическими многочленами

Если \(f\) непрерывна и \(\tau \)-периодична, то для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует тригонометрический многочлен \(T\) такой, что \(\sup _{x\in \mathbb{R}}|f(x)-T(x)|\lt \varepsilon \). Для периода \(2\pi \) многочлен имеет вид \(T(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{N}(a_{k} \cos kx+b_{k} \sin kx)\).1

Что важно запомнить
  • Теорема относится к непрерывным периодическим функциям.
  • Приближение является равномерным по всему периоду, а значит и на всей прямой после периодического продолжения.
  • Частоты тригонометрического многочлена должны соответствовать периоду функции.
  • Теорему можно доказать с помощью свёртки с периодической аппроксимативной единицей из тригонометрических многочленов.

Периодическая теорема Вейерштрасса

Пусть \(f\) непрерывна и имеет период \(\tau \gt 0\). Для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует число \(N\) и коэффициенты \(a_{k},b_{k}\) такие, что тригонометрический многочлен

\[T_{N}(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{N}[a_{k} \cos (\frac{2\pi kx}{\tau} )+b_{k} \sin (\frac{2\pi kx}{\tau} )]\]

удовлетворяет условию \(\sup _{x\in \mathbb{R}}|f(x)-T_{N}(x)|\lt \varepsilon \).1

Схема доказательства

Берут неотрицательные \(\tau \)-периодические тригонометрические ядра \(K_{n}\) с нормировкой

\[\int _{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}K_{n}(t)dt=1\].

Их масса вне любой фиксированной окрестности нуля стремится к нулю. Такие ядра образуют периодическую аппроксимативную единицу.

Положим

\[T_{n}(x)=\int _{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}f(x-t)K_{n}(t)dt\].

Так как \(K_{n}\) является тригонометрическим многочленом, после раскрытия \(\cos \) и \(\sin \) функция \(T_{n}\) также оказывается тригонометрическим многочленом по \(x\).

Непрерывная периодическая функция равномерно непрерывна. Поэтому вклад малых \(|t|\) контролируется модулем непрерывности \(f\), а вклад остальных \(t\) стремится к нулю вместе с массой \(K_{n}\) вне окрестности нуля. Отсюда \(\sup _{x}|T_{n}(x)-f(x)|\to 0\).1

Пример простыми словами

Для непрерывной \(2\pi \)-периодической функции \(|\sin x|\) теорема гарантирует тригонометрические многочлены, которые приближают её равномерно, хотя сама функция не является тригонометрическим многочленом.

Частые ошибки
  • Писать \(\cos kx\) и \(\sin kx\) без поправки на период, если \(\tau \ne 2\pi \).
  • Считать равномерное приближение только поточечным.
  • Путать эту теорему с приближением алгебраическими многочленами на отрезке.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу, II курс, осенний семестр Механико-математический факультет МГУ. Раздел 17 «Свёртка функций и её свойства. δ-образные последовательности. Теорема Вейерштрасса»: периодический вариант равномерного приближения тригонометрическими многочленами