Формулировка теоремы
Пусть \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\). Тогда существует последовательность алгебраических многочленов \(P_{n}\) такая, что
\[\max _{x\in [a,b]}|f(x)-P_{n}(x)|\to 0\].
Эквивалентно, для каждого \(\varepsilon \gt 0\) можно выбрать многочлен \(P\), удовлетворяющий оценке \(\max |f-P|\lt \varepsilon \).1
Схема доказательства из курса
Сначала из \(f\) вычитают линейную функцию \(L\), совпадающую с \(f\) в концах отрезка. Для \(g=f-L\) получаем \(g(a)=g(b)=0\). Поэтому \(g\) можно непрерывно продолжить нулём за пределы \([a,b]\).
Положим \(l=b-a\) и
\[q(t)=\max \{l^{2}-t^{2},0\}, c_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }q(t)^{n} dt, Q_{n}(t)=\frac{q(t)^{n}}{c_{n}}\].
Функции \(Q_{n}\) неотрицательны, имеют единичную массу и концентрируются около нуля. Определим
\[P_{n}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)Q_{n}(x-t)dt=\int _{a}^{b} g(t)Q_{n}(x-t)dt\].
Если \(x,t\in [a,b]\), то \(|x-t|\le l\). Поэтому \(q(x-t)=l^{2}-(x-t)^{2}\). На области интегрирования \(Q_{n}(x-t)\) является многочленом по \(x\), а значит \(P_{n}\) также является алгебраическим многочленом.
Для оценки ошибки записывают
\[|g(x)-P_{n}(x)|\le \int |g(x)-g(t)|Q_{n}(x-t)dt\].
Интеграл делят на область \(|x-t|\lt \delta \) и её дополнение. На первой части равномерная непрерывность \(g\) делает разность малой. На второй части \(g\) ограничена, а масса \(Q_{n}\) стремится к нулю. Поэтому \(P_{n}\to g\) равномерно на \([a,b]\). Добавляя обратно линейную функцию \(L\), получаем требуемые многочлены для \(f\).1