Ортогональная система и коэффициенты Фурье
Рассмотрим пространство функций на \([a,b]\) со скалярным произведением
\[\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b} f(x)g(x)dx\].
Система \(\{\varphi _{n}\}\) называется ортогональной, если \(\langle \varphi _{n},\varphi _{m}\rangle =0\) при \(n\ne m\). Если дополнительно \(\lVert \varphi _{n}\rVert =1\) для всех \(n\), система называется ортонормированной.
Для ортогональной системы коэффициент Фурье функции \(f\) по \(\varphi _{n}\) определяется формулой
\[c_{n}=\frac{\langle f,\varphi _{n}\rangle}{\lVert \varphi _{n}\rVert ^{2}}\].
Формальная запись \(f\sim \sum c_{n}\varphi _{n}\) называется рядом Фурье функции \(f\) по данной системе. Знак \(\sim \) здесь не утверждает равенство функции сумме ряда.
Экстремальное свойство и неравенство Бесселя
Пусть рассматриваются линейные комбинации первых \(N\) функций системы. Среди всех сумм \(\sum _{n=1}^{N} a_{n}\varphi _{n}\) минимальную среднеквадратичную ошибку \(\lVert f-\sum a_{n}\varphi _{n}\rVert \) дают именно коэффициенты \(a_{n}=c_{n}\). Это следует из ортогональности слагаемых.
Для ортонормированной системы получаем
\[\lVert f-\sum _{n=1}^{N} c_{n}\varphi _{n}\rVert ^{2}=\lVert f\rVert ^{2}-\sum _{n=1}^{N}|c_{n}|^{2}\ge 0\].
Следовательно, \(\sum _{n=1}^{N}|c_{n}|^{2}\le \lVert f\rVert ^{2}\) для каждого \(N\). После перехода к пределу возникает неравенство Бесселя
\[\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}\le \lVert f\rVert ^{2}\].1
Для ненормированной ортогональной системы оно записывается как \(\sum |c_{n}|^{2}\lVert \varphi _{n}\rVert ^{2}\le \lVert f\rVert ^{2}\). Если ортонормированная система полна, для каждого \(f\) выполняется равенство Парсеваля \(\sum |c_{n}|^{2}=\lVert f\rVert ^{2}\).