Ряды в гильбертовом пространстве: замкнутость, полнота и равенство Парсеваля

В гильбертовом пространстве ряд сходится тогда, когда его частичные суммы образуют фундаментальную последовательность. Для ортогонального ряда \(\sum u_{n}\) это эквивалентно сходимости \(\sum \lVert u_{n}\rVert ^{2}\).1

Для ортонормированной системы \(\{e_{k}\}\) и коэффициентов Фурье \(c_{k}=\langle x,e_{k}\rangle \) справедливо неравенство Бесселя \(\sum |c_{k}|^{2}\le \lVert x\rVert ^{2}\). Если система полна, то \(x=\sum c_{k}e_{k}\) и выполняется равенство Парсеваля \(\lVert x\rVert ^{2}=\sum |c_{k}|^{2}\).1

Что важно запомнить
  • Полнота системы означает плотность её линейной оболочки во всём пространстве.
  • Замкнутость ортонормированной системы означает, что единственный вектор, ортогональный всем её элементам, равен нулю.
  • В гильбертовом пространстве для ортонормированной системы полнота и замкнутость эквивалентны.
  • Неравенство Бесселя верно для любой ортонормированной системы.
  • Равенство Парсеваля характеризует полную ортонормированную систему.

Ортогональные ряды в гильбертовом пространстве

Пусть \(H\) гильбертово и \(u_{n}\) попарно ортогональны. Для частичных сумм \(S_{N}=\sum _{n=1}^{N} u_{n}\) по теореме Пифагора

\[\lVert S_{m}-S_{n}\rVert ^{2}=\sum _{k=n+1}^{m}\lVert u_{k}\rVert ^{2}\].

Поэтому ряд \(\sum u_{n}\) сходится в \(H\) тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд \(\sum \lVert u_{n}\rVert ^{2}\). Направление от числового ряда к векторному использует полноту \(H\).1

Коэффициенты Фурье и Бессель

Пусть \(\{e_{k}\}\) ортонормированная система и \(x\in H\). Коэффициенты

\[c_{k}=\langle x,e_{k}\rangle \]

называются коэффициентами Фурье. Для любой такой системы выполняется неравенство Бесселя

\[\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}\le \lVert x\rVert ^{2}\].1

Следовательно, ряд Фурье \(\sum c_{k}e_{k}\) сходится в \(H\). Его сумма является ортогональной проекцией \(x\) на замыкание линейной оболочки системы.

Полнота, замкнутость и Парсеваль

Система называется полной, если замыкание её линейной оболочки совпадает с \(H\). Она называется замкнутой, если из \(\langle x,e_{k}\rangle =0\) для всех \(k\) следует \(x=0\). Для ортонормированной системы в гильбертовом пространстве эти условия эквивалентны.1

При их выполнении каждый \(x\in H\) раскладывается

\[x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}\]

сходимостью в норме \(H\), а неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля

\[\lVert x\rVert ^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}\].1

Пример простыми словами

В \(\ell ^{2}\) стандартная система \(e_{1},e_{2}\),... полна. Для \(x=(x_{1},x_{2},\ldots )\) коэффициенты Фурье относительно этой системы равны самим координатам \(x_{k}\), а равенство Парсеваля становится определением нормы: \(\lVert x\rVert _{2}^{2}=\sum |x_{k}|^{2}\).

Частые ошибки
  • Считать равенство Парсеваля верным для любой ортонормированной системы. Без полноты остаётся только неравенство Бесселя.
  • Путать полноту пространства \(H\) с полнотой системы \(\{e_{k}\}\).
  • Из \(\sum \lVert u_{n}\rVert ^{2}\lt \infty \) выводить сходимость ортогонального ряда в неполном предгильбертовом пространстве без дополнительного условия.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу, II курс, осенний семестр Механико-математический факультет МГУ. Раздел 20 «Полнота и замкнутость системы векторов. Равенство Парсеваля» и предшествующее неравенство Бесселя