Предгильбертовы и гильбертовы пространства. Пространство ℓ² и его полнота

Предгильбертово пространство — линейное пространство со скалярным произведением. Оно задаёт норму \(\lVert x\rVert =\sqrt{\langle x,x\rangle} \). Если пространство полно относительно метрики этой нормы, оно называется гильбертовым.1

Пространство \(\ell ^{2}\) состоит из последовательностей \(x=(x_{1},x_{2},\ldots )\) с \(\sum |x_{n}|^{2}\lt \infty \). В вещественном случае \(\langle x,y\rangle =\sum x_{n}y_{n}\), а в комплексном случае \(\langle x,y\rangle =\sum x_{n}\cdot \operatorname{conj}(y_{n})\). Пространство \(\ell ^{2}\) является гильбертовым.2

Что важно запомнить
  • Скалярное произведение порождает норму через \(\lVert x\rVert ^{2}=\langle x,x\rangle \).
  • Гильбертово пространство отличается от предгильбертова полнотой.
  • В \(\ell ^{2}\) сумма квадратов модулей координат конечна.
  • Стандартные векторы \(e_{n}\) образуют ортонормированную систему в \(\ell ^{2}\).
  • В комплексном случае в скалярном произведении используется комплексное сопряжение.

Предгильбертово и гильбертово пространства

Предгильбертовым называют линейное пространство \(H\) над \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\), в котором задано скалярное произведение \(\langle x,y\rangle \). Оно положительно определено и обладает симметрией в вещественном случае или эрмитовой симметрией в комплексном. При используемой здесь конвенции комплексное скалярное произведение линейно по первому аргументу.

Скалярное произведение задаёт норму

\[\lVert x\rVert =\sqrt{\langle x,x\rangle} \].

Неравенство Коши—Буняковского обеспечивает основные свойства этой нормы. Если \(H\) полно по метрике \(d(x,y)=\lVert x-y\rVert \), то \(H\) называется гильбертовым пространством.1

Пространство \(\ell ^{2}\)

Определим

\[\ell ^{2}=\{x=(x_{n}): \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}\lt \infty \}\].

В вещественном случае \(\langle x,y\rangle =\sum x_{n}y_{n}\). В комплексном случае

\[\langle x,y\rangle =\sum x_{n}\cdot \operatorname{conj}(y_{n})\].

Ряд скалярного произведения сходится по неравенству Коши—Буняковского, а норма равна \(\lVert x\rVert _{2}=(\sum |x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}\).

Почему \(\ell ^{2}\) полно

Пусть \((x^{(m)})\) — фундаментальная последовательность в \(\ell ^{2}\). Для каждого номера \(n\) последовательность координат \(x_{n}^{(m)}\) фундаментальна в \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\), поэтому существует предел \(x_{n}=\lim _{m\to \infty }x_{n}^{(m)}\).

Зафиксируем \(\varepsilon \gt 0\) и выберем \(m_{0}\) так, что \(\lVert x^{(m)}-x^{(k)}\rVert _{2}\lt \varepsilon \) при \(m,k\ge m_{0}\). Для фиксированных \(m\ge m_{0}\) и \(N\) можно перейти к пределу \(k\to \infty \) в конечной сумме и получить

\[\sum _{n=1}^{N}|x_{n}^{(m)}-x_{n}|^{2}\le \varepsilon ^{2}\].

Эта оценка верна для всех \(N\). Отсюда после \(N\to \infty \) следует \(\sum |x_{n}^{(m)}-x_{n}|^{2}\le \varepsilon ^{2}\). В частности, используя \(x^{(m)}\in \ell ^{2}\), получаем \(x\in \ell ^{2}\), а затем \(\lVert x^{(m)}-x\rVert _{2}\le \varepsilon \) для всех \(m\ge m_{0}\).

Следовательно, \(x^{(m)}\to x\) в \(\ell ^{2}\). Значит, пространство \(\ell ^{2}\) полно и потому является гильбертовым.2

Стандартные последовательности \(e_{n}\), у которых \(n\)-я координата равна \(1\), а остальные равны нулю, образуют ортонормированную систему.2

Пример простыми словами

Последовательность \(x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots )\) принадлежит \(\ell ^{2}\), поскольку \(\sum \frac{1}{n^{2}}\) сходится. В то же время последовательность \((1,1,1,\ldots )\) в \(\ell ^{2}\) не принадлежит.

Частые ошибки
  • Считать любое нормированное пространство предгильбертовым. Не всякая норма задаётся скалярным произведением.
  • Называть предгильбертово пространство гильбертовым без проверки полноты.
  • В определении \(\ell ^{2}\) требовать сходимость \(\sum |x_{n}|\) вместо \(\sum |x_{n}|^{2}\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу, II курс, осенний семестр Механико-математический факультет МГУ. Разделы о евклидовых и гильбертовых пространствах, ортонормированных системах и полноте
  2. 2 Encyclopedia of Mathematics. Hilbert space Определение полного пространства со скалярным произведением и пример ℓ² как пространства квадрат-суммируемых последовательностей со стандартным скалярным произведением