Метод Лапласа и асимптотика интеграла Лапласа

Метод Лапласа описывает интегралы с большим параметром, у которых основной вклад сосредоточен около максимума фазы. Пусть \(f\) непрерывна на \([a,b], \varphi \in C^{2}[a,b]\), а \(x_{0}\in (a,b)\) — единственная точка глобального максимума \(\varphi \). Если \(\varphi '(x_{0})=0, \varphi ''(x_{0})\lt 0\) и \(f(x_{0})\ne 0\), то
\[I(\lambda )=\int _{a}^{b} f(x)e^{\lambda \varphi (x)}dx \sim f(x_{0})e^{\lambda \varphi (x_{0})}\sqrt{\frac{2\pi}{(\lambda |\varphi ''(x_{0})|)}}\]
при \(\lambda \to +\infty \).¹

Что важно запомнить

Главный вклад даёт окрестность точки, где \(\varphi \) максимальна.
Для невырожденного внутреннего максимума требуется \(\varphi '(x_{0})=0\) и \(\varphi ''(x_{0})\lt 0\).
Квадратичная часть разложения \(\varphi \) около \(x_{0}\) приводит к гауссову интегралу и множителю \(\lambda ^{-\frac{1}{2}}\).
Если максимум лежит на границе или вырожден, асимптотика имеет другой вид.

Главный член метода Лапласа

Рассмотрим интеграл на конечном отрезке

\[I(\lambda )=\int _{a}^{b} f(x)e^{\lambda \varphi (x)}dx, \lambda \to +\infty \].

Удобный набор достаточных условий для стандартного невырожденного случая таков. Пусть \(f\) непрерывна на \([a,b], \varphi \in C^{2}[a,b]\), а \(x_{0}\in (a,b)\) является единственной точкой глобального максимума \(\varphi \). Предположим также, что

\[\varphi '(x_{0})=0, \varphi ''(x_{0})\lt 0, f(x_{0})\ne 0\].

Тогда

\[I(\lambda )\sim f(x_{0})e^{\lambda \varphi (x_{0})}\sqrt{\frac{2\pi}{(\lambda |\varphi ''(x_{0})|)}}\].¹

Почему возникает эта асимптотика

Вне любой достаточно малой окрестности \(x_{0}\) функция \(\varphi \) отделена от своего максимума на положительную величину. Поэтому соответствующая часть интеграла экспоненциально мала по сравнению с вкладом около \(x_{0}\).

В окрестности максимума имеем

\[\varphi (x)=\varphi (x_{0})+\frac{\varphi ''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}{2}+o((x-x_{0})^{2})\].

После замены \(t=\sqrt{\lambda} (x-x_{0})\) основной интеграл сводится к гауссову. Отсюда появляются множитель \(e^{\lambda \varphi (x_{0})}\), значение \(f(x_{0})\), коэффициент \(\sqrt{\frac{2\pi}{|\varphi ''(x_{0})|}}\) и порядок \(\lambda ^{-\frac{1}{2}}\).¹

Если максимум находится на границе, является вырожденным, достигается в нескольких точках или \(f(x_{0})=0\), главный член в общем случае меняется. Стандартную формулу выше к таким ситуациям механически не применяют.

Пример простыми словами

Для \(I(\lambda )=\int _{-1}^{1}e^{-\lambda x^{2}}dx\) имеем \(f(x)=1\) и \(\varphi (x)=-x^{2}\). Максимум достигается при \(x_{0}=0, \varphi ''(0)=-2\). Поэтому \(I(\lambda )\sim \sqrt{\frac{\pi}{\lambda} }\).

Частые ошибки

Искать минимум \(\varphi \) вместо максимума, когда экспонента имеет вид \(e^{\lambda \varphi (x)}\).
Использовать формулу внутреннего невырожденного максимума для максимума на границе.
Забывать множитель \(e^{\lambda \varphi (x_{0})}\) или квадратный корень из \(\lambda \).
Использовать приведённый главный член, не проверив условие \(f(x_{0})\ne 0\).

Другие вопросы

Источники

1 NIST Digital Library of Mathematical Functions, §2.3(iii) Laplace’s Method Асимптотика интегралов с большим параметром методом Лапласа. Scope темы сверён с MSU-MATAN-068, программа коллоквиума мехмата МГУ, 2 курс, осенний семестр, пункт 10