Гамма- и бета-функции Эйлера: определения, связь и формула дополнения

Для \(x,y\gt 0\) функции Эйлера определяются интегралами
\[\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\],
\[B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\].1

Они связаны формулой \(B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\). Формула дополнения Эйлера имеет вид \(\Gamma (x)\Gamma (1-x)=\frac{\pi}{\sin (\pi x)}, 0\lt x\lt 1\).1

Что важно запомнить
  • \(\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\), поэтому \(\Gamma (n+1)=n!\).
  • \(\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \).
  • Бета-функция симметрична: \(B(x,y)=B(y,x)\).
  • Связь \(B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\) переводит многие бета-интегралы в значения гамма-функции.
  • Формула дополнения связывает \(\Gamma (x)\) и \(\Gamma (1-x)\).

Гамма-функция

Для \(x\gt 0\) определяют

\[\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\].1

Интегрирование по частям даёт рекуррентную формулу \(\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\). Так как \(\Gamma (1)=1\), для натурального \(n\) получаем \(\Gamma (n+1)=n!\). Кроме того, \(\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \).1

Формула дополнения Эйлера имеет вид

\[\Gamma (x)\Gamma (1-x)=\frac{\pi}{\sin (\pi x)}, 0\lt x\lt 1\].1

Бета-функция

Для \(x,y\gt 0\) определяют

\[B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\].1

Из замены \(t\mapsto 1-t\) следует симметрия \(B(x,y)=B(y,x)\). После замены \(t=\frac{z}{(1+z)}\) получают эквивалентное представление на \((0,+\infty )\). Главное соотношение между двумя функциями Эйлера:

\[B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\].1

В частности, \(B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})^{2}}{\Gamma (1)}=\pi \).

Пример простыми словами

При натуральных \(m,n\ge 1\) связь с гамма-функцией даёт \(B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\).

Частые ошибки
  • Писать \(\Gamma (n)=n!\) вместо \(\Gamma (n+1)=n!\).
  • Забывать условия \(x\gt 0\) и \(y\gt 0\) в интегральных определениях.
  • В формуле связи ставить \(\Gamma (x+y)\) в числитель.
  • Применять вещественную формулу дополнения в точках, где \(\sin (\pi x)=0\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр. Гл. 3, §3, пп. 3.1–3.2: определения и свойства Γ и B, формула дополнения и связь B с Γ