Интегралом Пуассона называют гауссов интеграл. Его значения равны
\[\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\],
В курсе результат получают через перестановку двух неотрицательных несобственных
Что важно запомнить
- Полуинтеграл на \([0,+\infty )\) равен \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\), а интеграл по всей прямой равен \(\sqrt{\pi} \).
- Квадрат \(I^{2}\) удобно представить как повторный несобственный интеграл от неотрицательной функции.
- Перестановка порядка интегрирования должна быть обоснована.
- Ключевой элемент вычисления после перестановки сводится к \(\int _{0}^{\infty }\frac{dx}{(1+x^{2})}=\frac{\pi}{2}\).
Значение интеграла Пуассона
Положим
\[I=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\].
Тогда \(I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\), а вследствие чётности экспоненты
Вычисление через повторный интеграл
Для \(y\gt 0\) рассмотрим
\[\psi (y)=\int _{0}^{\infty }y e^{-(xy)^{2}}dx\].
Заменой \(u=xy\) получаем \(\psi (y)=I\). Поэтому
\[I^{2}=\int _{0}^{\infty }e^{-y^{2}}\psi (y)dy=\int _{0}^{\infty }dy\int _{0}^{\infty }y e^{-(1+x^{2})y^{2}}dx\].
Подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна. После обоснованной перестановки порядка интегрирования внутренний интеграл по \(y\) вычисляется явно:
\[\int _{0}^{\infty }y e^{-(1+x^{2})y^{2}}dy=\frac{1}{[2(1+x^{2})]}\].
Следовательно,
\[I^{2}=\frac{1}{2}\int _{0}^{\infty }\frac{dx}{(1+x^{2})}=\frac{\pi}{4}\].
Так как \(I\gt 0\), получаем
Пример простыми словами
Если нужно вычислить \(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a x^{2}}dx\) при \(a\gt 0\), замена \(u=\sqrt{a} x\) сразу даёт \(\sqrt{\frac{\pi}{a}}\).
Частые ошибки
- Путать значение интеграла на \([0,+\infty )\) со значением на всей прямой.
- Из равенства \(I^{2}=\frac{\pi}{4}\) выбирать отрицательный корень, хотя \(I\gt 0\).
- Менять порядок повторных несобственных интегралов без проверки достаточных условий.
