Формулы Фруллани

Формула Фруллани связывает разность двух масштабированных копий одной функции с логарифмом отношения масштабов. Если \(a,b\gt 0, f\) непрерывна на \((0,+\infty )\) и существуют конечные пределы \(L_{0}=f(0+)\) и \(L_{\infty} =\lim _{x\to \infty }f(x)\), то

\[\int _{0}^{\infty }\frac{[f(ax)-f(bx)]}{x} dx=(L_{0}-L_{\infty} )\ln (\frac{b}{a})\].1

Что важно запомнить
  • Оба масштаба \(a\) и \(b\) должны быть положительными.
  • Важны значения функции на двух концах промежутка: предел при \(0+\) и предел при \(+\infty \).
  • Эквивалентная запись формулы имеет вид \((L_{\infty} -L_{0})\ln (\frac{a}{b})\).
  • Формула вычисляет разность масштабированных функций, хотя каждый из интегралов \(\int \frac{f(ax)}{x} dx\) по отдельности может расходиться.

Формула Фруллани

Пусть \(a,b\gt 0\). Предположим, что \(f\) непрерывна на \((0,+\infty )\) и существуют конечные пределы

\[L_{0}=\lim _{x\to 0+}f(x), L_{\infty} =\lim _{x\to +\infty }f(x)\].

Тогда стандартная формула Фруллани имеет вид

\[\int _{0}^{\infty } \frac{[f(ax)-f(bx)]}{x} dx=(L_{0}-L_{\infty} )\ln (\frac{b}{a})\].1

Та же формула записывается как \((L_{\infty} -L_{0})\ln (\frac{a}{b})\).

Почему появляется логарифм

Рассмотрим усечённый интеграл от \(\varepsilon \) до \(R\). После замен \(u=ax\) и \(u=bx\) получаем разность двух интегралов с одинаковой функцией \(\frac{f(u)}{u}\). Если, например, \(b\gt a\), общая часть промежутков сокращается:

\[\int _{\varepsilon }^{R} \frac{[f(ax)-f(bx)]}{x} dx=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }\frac{f(u)}{u} du-\int _{aR}^{bR}\frac{f(u)}{u} du\].

При \(\varepsilon \to 0\) первая часть стремится к \(L_{0}\ln (\frac{b}{a})\), а при \(R\to \infty \) вторая стремится к \(L_{\infty} \ln (\frac{b}{a})\). Их разность и даёт формулу.

Существенно, что рассматривается именно разность. Раздельные интегралы от \(\frac{f(ax)}{x}\) и \(\frac{f(bx)}{x}\) могут не существовать.

Пример простыми словами

Для \(f(x)=e^{-x}\) имеем \(L_{0}=1\) и \(L_{\infty} =0\). Поэтому при \(a,b\gt 0\)
\[\int _{0}^{\infty }\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})}{x} dx=\ln (\frac{b}{a})\].

Частые ошибки
  • Менять местами \(a\) и \(b\) в логарифме, не меняя знак коэффициента.
  • Разбивать интеграл Фруллани на два расходящихся интеграла.
  • Применять формулу без проверки существования пределов \(f(0+)\) и \(f(+\infty )\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Weisstein E. W. Frullani's Integral, Wolfram MathWorld Стандартная формула интеграла Фруллани и условия её применения. Scope темы дополнительно сверён с MSU-MATAN-048, официальный экзамен мехмата МГУ, 2 курс, 3 семестр, вопрос 55