Если \(f\) непрерывна на \([a,+\infty )\times [c,d]\), а \(F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно на \([c,d]\), то \(F\) интегрируема и порядок интегрирования можно поменять:
Для двух бесконечных промежутков применяются отдельные теоремы. Для непрерывной неотрицательной \(f\) достаточно условий теоремы о повторных несобственных интегралах. Для функции произвольного знака в курсе используют абсолютный вариант: однократные интегралы от \(|f|\) должны существовать и быть непрерывны, а хотя бы один повторный интеграл от \(|f|\) должен существовать. Тогда оба порядка интегрирования для \(f\) существуют и
Что важно запомнить
- Равномерная сходимость по параметру позволяет интегрировать несобственный интеграл по конечному отрезку параметров.
- После перестановки конечный интеграл по \(y\) оказывается внутри, а несобственный предел по \(x\) сохраняется.
- Для двух бесконечных промежутков нужны отдельные условия. Нельзя автоматически переносить теорему для конечного параметрического отрезка.
- Для функции меняющего знак абсолютный вариант требует контроля интегралов от \(|f|\), а не только существования интегралов от \(f\).
Интегрирование по параметру
Пусть \(f\in C([a,+\infty )\times [c,d])\) и интеграл
\[F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\]
сходится равномерно по \(y\in [c,d]\). Тогда \(F\) непрерывна, следовательно интегрируема на \([c,d]\), и
Доказательство проводится на усечённых интегралах \(\int _{a}^{b}\). На них порядок интегрирования меняют для собственного интеграла. Затем \(b\to \infty \), а равномерная сходимость позволяет перенести предел через интеграл по \(y\).
Два несобственных интеграла
Если обе переменные пробегают бесконечные промежутки, одной поточечной сходимости внутренних интегралов недостаточно.
Для непрерывной неотрицательной \(f\) на \([a,+\infty )\times [c,+\infty )\), если однократные несобственные интегралы \(F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) и \(G(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,y)dy\) существуют и непрерывны, а хотя бы один из повторных интегралов существует, то существует и второй, причём их значения
Для функции произвольного знака в курсе используется абсолютный вариант. Пусть \(f\) непрерывна, интегралы \(\int _{a}^{\infty }|f(x,y)|dx\) и \(\int _{c}^{\infty }|f(x,y)|dy\) существуют и непрерывны. Если существует хотя бы один из двух повторных интегралов от \(|f|\), то оба повторных интеграла от \(f\) существуют и
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=e^{-x-y}\) на \([0,+\infty )^{2}\) функция неотрицательна и оба порядка интегрирования дают \(1\). Сначала по \(x: \int _{0}^{\infty }e^{-y}[\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx]dy=1\). При обратном порядке получается то же значение.
Частые ошибки
- Менять порядок двух несобственных интегралов только потому, что каждый внутренний интеграл существует.
- Использовать теорему для конечного отрезка параметров без равномерной сходимости по этому параметру.
- В абсолютном варианте проверять только \(\int f\) и забывать условия на интегралы от \(|f|\).
