Теорема о дифференцировании
Пусть \(f\) и частная производная \(f_{y}'\) непрерывны на \([a,+\infty )\times [c,d]\). Предположим, что \(\int _{a}^{\infty }f(x,y_{0})dx\) сходится хотя бы для одного \(y_{0}\in [c,d]\), а интеграл
\[G(y)=\int _{a}^{\infty }f_{y}'(x,y)dx\]
сходится равномерно на \([c,d]\). Тогда \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно на \([c,d]\), функция \(F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) дифференцируема и
\[F'(y)=G(y)=\int _{a}^{\infty }f_{y}'(x,y)dx\].1
Условие равномерной сходимости \(G\) позволяет перейти к пределу в производных усечённых интегралов. Сходимость исходного интеграла в одной точке фиксирует постоянную при восстановлении предельной функции.
Интеграл Дирихле
Сначала обычный признак Дирихле даёт сходимость \(\int _{0}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\). Для \(y\ge 0\) положим
\[F(y)=\int _{0}^{\infty }\frac{e^{-xy}\sin x}{x} dx\].
Так как \(\int _{0}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\) сходится, а \(x\mapsto e^{-xy}\) при каждом \(y\ge 0\) монотонна и \(0\lt e^{-xy}\le 1\), признак Абеля даёт равномерную сходимость \(F(y)\) по \(y\ge 0\). Поэтому \(F\) непрерывна в точке \(y=0\).1
Теперь зафиксируем \(0\lt c\le y\le d\). На таком отрезке интеграл от производной сходится равномерно, и теорема о дифференцировании даёт
\[F'(y)=-\int _{0}^{\infty }e^{-xy}\sin x dx=-\frac{1}{(1+y^{2})}\].
Кроме того, при \(y\gt 0\) из \(|\sin x|\le x\) следует \(|F(y)|\le \int _{0}^{\infty }e^{-xy}dx=\frac{1}{y}\), поэтому \(F(y)\to 0\) при \(y\to +\infty \). Следовательно, для \(y\gt 0\)
\[F(y)=\frac{\pi}{2}-\arctan y\].
Непрерывность \(F\) в нуле позволяет перейти к \(y\to 0+\) и получить
\[\int _{0}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx=F(0)=\frac{\pi}{2}\].1
Заменой переменной следует формула \(\int _{0}^{\infty }\frac{\sin (\alpha x)}{x} dx=(\frac{\pi}{2})\operatorname{sign}(\alpha )\) для \(\alpha \ne 0\).