Пусть \(f(x,y)\) на каждом конечном \([a,b]\) равномерно по \(x\) стремится к \(g(x)\) при \(y\to y_{0}\), а несобственный интеграл \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно по \(y\). Тогда предел можно перенести под знак несобственного
Если \(f\) непрерывна на \([a,+\infty )\times [c,d]\) и \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно на \([c,d]\), то его сумма \(F(y)\) непрерывна на
Что важно запомнить
- Для предельного перехода нужны два контроля: равномерная сходимость \(f(\cdot ,y)\to g\) на каждом конечном отрезке и равномерная сходимость самого несобственного интеграла.
- Равномерная сходимость несобственного интеграла контролирует его хвост независимо от параметра.
- Непрерывность подынтегральной функции вместе с равномерной сходимостью интеграла сохраняет непрерывность суммы.
Предельный переход
Пусть \(y_{0}\) является предельной точкой множества параметров \(Y\). Предположим, что для каждого \(b\gt a\)
\(f(x,y)\to g(x)\) при \(y\to y_{0}\)
равномерно по \(x\in [a,b]\). Пусть также \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно по \(y\) на \(Y\). Тогда \(g\) интегрируема на каждом конечном \([a,b]\), несобственный интеграл \(\int _{a}^{\infty }g(x)dx\) сходится и
Доказательство разделяет интеграл на конечную часть и хвост. На \([a,b]\) предел переносится под знак собственного интеграла благодаря равномерной сходимости. Хвосты \(f\) малы равномерно по параметру, а из критерия Коши получается малость хвоста \(g\).
Непрерывность интеграла с параметром
Пусть \(f\) непрерывна на \([a,+\infty )\times [c,d]\) и
\[F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\]
сходится равномерно по \(y\in [c,d]\). Тогда
Для фиксированного \(y_{0}\) совместная непрерывность \(f\) на каждом компактном прямоугольнике \([a,b]\times [c,d]\) даёт равномерную по \(x\) сходимость \(f(x,y)\to f(x,y_{0})\) при \(y\to y_{0}\). После этого применяется теорема о предельном переходе.
Пример простыми словами
Для \(y\ge \delta \gt 0\) имеем \(F(y)=\int _{0}^{\infty }e^{-xy}dx=\frac{1}{y}\). Хвост равен \(\frac{e^{-by}}{y}\le \frac{e^{-b\delta }}{\delta} \), поэтому интеграл сходится равномерно на \([\delta ,+\infty )\). На любом компактном отрезке параметров внутри \((0,+\infty )\) теорема гарантирует непрерывность \(F\).
Частые ошибки
- Переносить предел под несобственный интеграл только из поточечной сходимости подынтегральных функций.
- Проверять сходимость интеграла для каждого \(y\) отдельно и считать это равномерной сходимостью.
- Для непрерывности \(F\) забывать, что теорема требует равномерного контроля хвоста интеграла по параметру.
